PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 45 do ITA 2020

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots, \}: conjunto dos números naturais.
\varnothing : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
C \cap D = interseção entre os conjuntos C e D.
M^2 = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

A cada aniversário, seu bolo tem uma quantidade de velas igual à sua idade. As velas são vendidas em pacotes com 12 unidades e todo ano é comprado apenas um novo pacote. As velas remanescentes são guardadas para os anos seguintes, desde o seu primeiro aniversário. Qual a sua idade, em anos, no primeiro ano em que as velas serão insuficientes?

  1. A
    12.
  2. B
    23.
  3. C
    24.
  4. D
    36.
  5. E
    38.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A ideia é comparar, a cada aniversário, o total de velas compradas com o total de velas já usadas.

No aniversário de número n (idade n), foram comprados n pacotes, ou seja, 12n velas. Já foram usadas 1+2+\dots+n = \dfrac{n(n+1)}{2} velas, pois a cada ano se usa uma quantidade igual à idade.

As velas são suficientes enquanto:

\frac{n(n+1)}{2} \le 12n

Como n>0, dividimos por n:

  1. \dfrac{n+1}{2} \le 12
  2. n+1 \le 24
  3. n \le 23

Até os 23 anos, as velas bastam (aos 23 anos há exatamente 276 = 12\cdot 23 velas compradas e 276 usadas, sobrando zero, mas ainda sem faltar).

Aos 24 anos: compradas 12\cdot 24 = 288; necessárias \dfrac{24\cdot 25}{2} = 300. Como 288 < 300, faltam velas.

Portanto, o primeiro ano em que as velas são insuficientes é aos 24 anos.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana: n \le 23 é a condição de suficiência, e quem para nela esquece que a pergunta é pelo primeiro ano de falta, que é 24.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A12 é o número de velas por pacote, não a idade em que o estoque acaba; aos 12 anos ainda sobram velas.
  • B23 é o último ano em que as velas bastam (sobra zero); a pergunta é pelo primeiro ano em que faltam.
  • D36 não vem da desigualdade; seria resultado de um erro de conta ao resolver n(n+1)/2 \le 12n.
  • E38 vem de ignorar a soma 1+\dots+n ou de erro algébrico; não satisfaz a condição de falta.

Assuntos: progressão aritmética, desigualdades.

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Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗