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Questão 2 do ITA 2020

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 15 · 1ª fase

Considere g como o módulo da aceleração local da gravidade e, quando necessário, use g = 10\ \text{m/s}^2.

Um sistema de defesa aérea testa separadamente dois mísseis contra alvos móveis que se deslocam com velocidade \vec{v}_a constante ao longo de uma reta distante de d do ponto de lançamento dos mísseis. Para atingir o alvo, o míssil 1 executa uma trajetória retilínea, enquanto o míssil 2, uma trajetória com velocidade sempre orientada para o alvo. A figura ilustra o instante de disparo de cada míssil, com o alvo passando pela origem do sistema de coordenadas xy. Sendo os módulos das velocidades dos mísseis iguais entre si, maiores que v_a e mantidos constantes, considere as seguintes afirmações:

I. Os intervalos de tempo entre o disparo e a colisão podem ser iguais para ambos os mísseis.

II. Para que o míssil 1 acerte o alvo é necessário que o módulo da componente y de sua velocidade seja igual a v_a.

III. Desde o disparo até a colisão, o míssil 2 executa uma trajetória curva de concavidade positiva com relação ao sistema xy.

Diagrama no sistema de coordenadas xy, com o eixo x orientado para a direita e o eixo y para cima. Um retângulo vertical hachurado, identificado como “Alvo móvel”, está na origem, com uma seta para cima indicando a velocidade vetorial v_a. À direita, à distância horizontal d do eixo y, aparecem dois mísseis sobrepostos: o Míssil 1 está orientado horizontalmente para a esquerda, e o Míssil 2 está orientado diagonalmente para cima e para a esquerda. Setas associam os rótulos “Míssil 1” e “Míssil 2” aos respectivos desenhos.

Considerando V como verdadeira e F como falsa, as afirmações I, II e III são, respectivamente,

  1. A
    ( ) V, V e V.
  2. B
    ( ) F, F e F.
  3. C
    ( ) V, F e V.
  4. D
    ( ) F, V e F.
  5. E
    ( ) F, V e V.
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Resolução comentada

Setup: o alvo passa pela origem subindo com v_a. Os mísseis estão em x=d, y=0, ambos com velocidade de módulo v>v_a. Pela figura, o míssil 1 está inclinado para cima e para a esquerda (trajetória retilínea) e o míssil 2 está apontado para o alvo, que está na origem.

Afirmação II. Para o míssil 1 acertar o alvo em linha reta, ele precisa ter a mesma posição y do alvo em todo instante. Logo, v_{1y}=v_a em módulo. Verdadeira.

Afirmação I. No míssil 1, a componente x da velocidade vale \sqrt{v^2-v_a^2}, e o tempo de voo é t_1=\dfrac{d}{\sqrt{v^2-v_a^2}}.

O míssil 2 aponta sempre para o alvo (perseguição). Seu movimento é mais lento na aproximação em x, pois parte da velocidade fica na direção y. No início, a componente x da velocidade dele é v, maior que a do míssil 1. Ao longo da perseguição, o míssil 2 se alinha com a direção y do alvo, e a componente x diminui.

Cálculo clássico da curva de perseguição: o tempo de encontro vale

t_2=\dfrac{d\,v}{v^2-v_a^2}

que, para v>v_a, é maior que t_1. De fato, \dfrac{v}{\sqrt{v^2-v_a^2}}>1, então t_2>t_1 sempre. Os tempos nunca são iguais. Falsa.

Afirmação III. O míssil 2 parte no sentido -x e vai curvando para +y, perseguindo o alvo que sobe. A trajetória é a curva de perseguição, com y crescendo e x diminuindo. Em y(x), o declive vai se tornando cada vez mais negativo (a inclinação aumenta em módulo), então y''<0 em termos de x decrescente? Usando o alvo em x=0, a curva de perseguição tem \dfrac{dy}{dx}<0 e \dfrac{d^2y}{dx^2}>0 (concavidade para cima), como em uma curva de perseguição clássica. Verdadeira.

Sequência: I falsa, II verdadeira, III verdadeira.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera I verdadeira, mas o míssil 2 leva mais tempo (t_2>t_1).
  • BConsidera II falsa, mas a componente y do míssil 1 deve igualar v_a.
  • CConsidera I verdadeira e II falsa, ambos errados.
  • DConsidera III falsa, mas a trajetória de perseguição tem concavidade positiva.

Assuntos: cinemática vetorial, curva de perseguição.

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Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗