PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 do ITA 2020

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 15 · 1ª fase

Considere g como o módulo da aceleração local da gravidade e, quando necessário, use g = 10\ \text{m/s}^2.

Um bloco de massa m sustentado por um par de molas idênticas, paralelas e de constante elástica k, desce verticalmente com velocidade constante e de módulo v controlada por um motor, conforme ilustra a figura. Se o motor travar repentinamente, ocorrerá uma força de tração máxima no cabo com módulo igual a

Esquema de um bloco de massa m suspenso por duas molas verticais idênticas e paralelas, cada uma de constante elástica k. As extremidades superiores das molas estão ligadas a um cabo que passa por uma polia fixa no teto e segue até uma roda do motor, presa a um suporte à esquerda, com uma seta indicando seu sentido de rotação. A velocidade vetorial v do bloco e a aceleração vetorial g apontam verticalmente para baixo.

  1. A
    mg + \sqrt{(mg)^2 + 2kmv^2}.
  2. B
    mg + \sqrt{(mg)^2 + kmv^2}.
  3. C
    mg + \sqrt{2kmv^2}.
  4. D
    mg + \sqrt{4kmv^2}.
  5. E
    mg + \sqrt{kmv^2}.
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Resolução comentada

Duas molas idênticas em paralelo se comportam como uma única mola de constante k_{eq}=2k. A tração máxima no cabo é a força máxima na mola equivalente, pois o cabo está preso a ela.

Antes de travar, o bloco desce com velocidade constante, então a mola já está esticada de x_0 com equilíbrio:

2k\,x_0 = mg \Rightarrow x_0=\frac{mg}{2k}

Quando o motor trava, o ponto de cima para e o bloco continua descendo com velocidade v, esticando mais a mola. Conservação de energia entre esse instante e o ponto de máxima elongação x (bloco para):

\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}(2k)x_0^2+mg(x-x_0)=\frac{1}{2}(2k)x^2

Substituindo mg=2kx_0, o termo mg(x-x_0)=2kx_0x-2kx_0^2:

\frac{1}{2}mv^2+kx_0^2+2kx_0x-2kx_0^2=kx^2
kx^2-2kx_0x+kx_0^2=\frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow k(x-x_0)^2=\frac{1}{2}mv^2

Logo x-x_0=\sqrt{\dfrac{mv^2}{2k}}.

A tração máxima é:

T=2k\,x=2kx_0+2k\sqrt{\frac{mv^2}{2k}}=mg+\sqrt{4k^2\cdot\frac{mv^2}{2k}}=mg+\sqrt{2kmv^2}

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AColoca (mg)^2 dentro da raiz, o que não surge da conservação de energia; o termo da gravidade se cancela e fica fora da raiz.
  • BTambém mantém (mg)^2 na raiz e erra o fator numérico.
  • DEsquece que a energia elástica vale \frac{1}{2}k_{eq}x^2, resultando em fator 4 em vez de 2.
  • EUsa só uma mola (k) em vez de 2k equivalente.

Assuntos: conservação de energia, associação de molas, oscilador massa-mola.

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Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗