Questão 1 do ITA 2020

Question

Considere uma teoria na qual a força de interação entre duas “cargas generalizadas” q_1 e q_2 em universos N-dimensionais é expressa por F_e = q_1 q_2 / (\kappa r^{N-1}), em que \kappa é uma constante característica do meio. A teoria também prevê uma força entre dois “polos generalizados” p_1 e p_2 expressa por F_m = p_1 p_2 / (\mu r^{N-1}), na qual \mu é outra constante característica do meio. Sabe-se ainda que um polo p pode interagir com uma corrente de carga, i, gerando uma força F = ip / (r^{N-2}). Em todos os casos, r representa a distância entre os entes interagentes. Considerando as grandezas fundamentais massa, comprimento, tempo e corrente de carga, assinale a alternativa que corresponde à fórmula dimensional de \kappa\mu.

A
L^2 T^{-2}
B
L^{-2} T^2
C
L^{-2} T^{-2}
D
L^{1-N} T^2
E
L^{-2} T^{N-1}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 do ITA 2020

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 15 · 1ª fase

Considere g como o módulo da aceleração local da gravidade e, quando necessário, use g = 10\ \text{m/s}^2.

Considere uma teoria na qual a força de interação entre duas “cargas generalizadas” q_1 e q_2 em universos N-dimensionais é expressa por F_e = q_1 q_2 / (\kappa r^{N-1}), em que \kappa é uma constante característica do meio. A teoria também prevê uma força entre dois “polos generalizados” p_1 e p_2 expressa por F_m = p_1 p_2 / (\mu r^{N-1}), na qual \mu é outra constante característica do meio. Sabe-se ainda que um polo p pode interagir com uma corrente de carga, i, gerando uma força F = ip / (r^{N-2}). Em todos os casos, r representa a distância entre os entes interagentes. Considerando as grandezas fundamentais massa, comprimento, tempo e corrente de carga, assinale a alternativa que corresponde à fórmula dimensional de \kappa\mu.

A
L^2 T^{-2}
B
L^{-2} T^2
C
L^{-2} T^{-2}
D
L^{1-N} T^2
E
L^{-2} T^{N-1}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A ideia é obter as dimensões de q, p, \kappa e \mu a partir das três fórmulas de força e depois multiplicar \kappa\mu. Seja [F]=MLT^{-2} e [i]=I (corrente de carga). Como i=q/t, temos [q]=IT.

Da força entre polos e correntes, F = ip/r^{N-2}, logo [p]=\dfrac{[F]\,L^{N-2}}{I}.
Da força entre cargas, F_e = q_1q_2/(\kappa r^{N-1}), logo [\kappa]=\dfrac{[q]^2}{[F]\,L^{N-1}}=\dfrac{I^2T^2}{[F]\,L^{N-1}}.
Da força entre polos, F_m = p_1p_2/(\mu r^{N-1}), logo [\mu]=\dfrac{[p]^2}{[F]\,L^{N-1}}=\dfrac{[F]^2L^{2N-4}}{I^2\,[F]\,L^{N-1}}=\dfrac{[F]\,L^{N-3}}{I^2}.
Multiplicando:

[\kappa\mu]=\frac{I^2T^2}{[F]L^{N-1}}\cdot\frac{[F]L^{N-3}}{I^2}=T^2L^{-2}

A corrente e a força se cancelam, e o expoente de L fica (N-3)-(N-1)=-2, sem depender de N. Isso lembra 1/c^2, o que faz sentido: \kappa\mu tem dimensão de inverso do quadrado de uma velocidade.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AInverte o resultado, obtendo L^2T^{-2} (velocidade ao quadrado) em vez de seu inverso.
CErra o sinal do expoente do tempo, esquecendo que [q]=IT gera T^2 em \kappa.
DNão cancela as potências de L dependentes de N, mantendo L^{1-N}.
EMistura N no expoente do tempo, o que não ocorre, pois N só aparece nos expoentes de L e se cancela.

Assuntos: análise dimensional, eletromagnetismo.

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Questão 1 no caderno 1ª fase do ITA 2020

Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗