PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 48 do ITA 2019

1ª fase · Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det(M) : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
M^T : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere as seguites afirmações:

I. se x_1, x_2 e x_3 são as raízes da equação x^3 - 2x^2 + x + 2 = 0, então y_1 = x_2x_3, y_2 = x_1x_3 e y_3 = x_1x_2 são as raízes da equação y^3 - y^2 - 4y - 4 = 0.

II. a soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é divisível por 9.

III. \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}.

É(são) VERDADEIRA(S)

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas II.
  3. C
    apenas III.
  4. D
    apenas II e III.
  5. E
    todas.
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Resolução comentada

I. Pelas relações de Girard em x^3-2x^2+x+2=0: x_1+x_2+x_3=2, x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=1 e x_1x_2x_3=-2.

Os novos números são y_i = \dfrac{x_1x_2x_3}{x_i} = \dfrac{-2}{x_i}. Calculamos:

  1. Soma: y_1+y_2+y_3 = x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = 1.
  2. Soma dos produtos dois a dois: x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3) = (-2)(2) = -4.
  3. Produto: (x_1x_2x_3)^2 = 4.

A equação com essas raízes é y^3 - 1\cdot y^2 + (-4)y - 4 = 0, ou seja, y^3-y^2-4y-4=0. A afirmação I é verdadeira.

II. Sejam n-1, n, n+1. A soma dos cubos é 3n^3+6n = 3n(n^2+2). Para ser divisível por 9, n(n^2+2) deve ser múltiplo de 3. Se n\equiv0 \pmod 3, é imediato. Se n\equiv\pm1, então n^2+2\equiv 3\equiv 0. Logo é sempre divisível por 9. A afirmação II é verdadeira.

III. Elevando \dfrac{1+\sqrt5}{2} ao quadrado: \dfrac{1+2\sqrt5+5}{4}=\dfrac{6+2\sqrt5}{4}=\dfrac{3+\sqrt5}{2}. Como o número é positivo, a raiz quadrada confere. A afirmação III é verdadeira.

As três afirmações são verdadeiras.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que II e III também são verdadeiras: a soma dos cubos é 3n(n^2+2), divisível por 9, e o quadrado de (1+\sqrt5)/2 dá (3+\sqrt5)/2.
  • BConsidera só a II verdadeira, mas I (por Girard) e III (por elevar ao quadrado) também valem.
  • CConsidera só a III verdadeira, mas I e II também são verdadeiras.
  • DExclui a I, mas as relações de Girard confirmam a equação y^3-y^2-4y-4=0.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Divisibilidade, MMC e MDC, Potenciação e radiciação.

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Fonte: ITA 2019 · 1ª fase. Prova oficial ↗