PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 47 do ITA 2019

1ª fase · Matemática · Matemática: Cone e tronco de cone

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det(M) : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
M^T : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Os volumes de um tronco de cone, de uma esfera de raio 5 cm e de um cilindro de altura 11 cm formam nessa ordem uma progressão aritmética. O tronco de cone é obtido por rotação de um trapézio retângulo, de altura 4 cm e bases medindo 5 cm e 9 cm, em torno de uma reta passando pelo lado de menor medida. Então, o raio da base do cilindro é, em cm, igual a

  1. A
    2\sqrt{2}.
  2. B
    2\sqrt{3}.
  3. C
    4.
  4. D
    2\sqrt{5}.
  5. E
    2\sqrt{6}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Os três volumes formam uma PA, então o volume da esfera é a média aritmética dos outros dois: V_{esf} = \frac{V_{tronco} + V_{cil}}{2}, ou seja, V_{cil} = 2V_{esf} - V_{tronco}.

O trapézio retângulo gira em torno do lado menor, que é a altura de 4 cm. As bases (5 cm e 9 cm) viram os raios das bases do tronco de cone, e a altura do tronco é h = 4 cm.

  1. Volume do tronco: V_{tronco} = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2) = \frac{4\pi}{3}(81 + 45 + 25) = \frac{4\pi}{3}\cdot 151 = \frac{604\pi}{3}.

  2. Volume da esfera de raio 5: V_{esf} = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500\pi}{3}.

  3. Volume do cilindro: V_{cil} = 2\cdot\frac{500\pi}{3} - \frac{604\pi}{3} = \frac{1000\pi - 604\pi}{3} = \frac{396\pi}{3} = 132\pi.

  4. O cilindro tem altura 11 cm: \pi r^2 \cdot 11 = 132\pi, logo r^2 = 12 e r = 2\sqrt{3} cm.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADá r^2=8, resultado que não vem da PA com os volumes corretos.
  • CDá r^2=16, valor que não decorre da conta do volume do cilindro.
  • DDá r^2=20, valor que não decorre da conta do volume do cilindro.
  • EDá r^2=24, valor que não decorre da conta do volume do cilindro.

Assuntos: Cone e tronco de cone, Progressão aritmética.

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Fonte: ITA 2019 · 1ª fase. Prova oficial ↗