PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 46 do ITA 2019

1ª fase · Matemática · Matemática: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det(M) : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
M^T : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja f : [-1, 1] \to \begin{bmatrix}-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\end{bmatrix} a função definida por f(x) = \text{arcsen}(x). Então, a soma \displaystyle\sum_{n=0}^{4} f\left(\cos \frac{2\pi}{3^n}\right) é igual a

  1. A
    \frac{253}{162}\pi.
  2. B
    \frac{245}{162}\pi.
  3. C
    -\frac{152}{81}\pi.
  4. D
    -\frac{82}{81}\pi.
  5. E
    -\frac{79}{162}\pi.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Para 0\le\theta\le\pi, vale \text{arcsen}(\cos\theta)=\dfrac{\pi}{2}-\theta. Isso porque \cos\theta=\sen\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) e \frac{\pi}{2}-\theta está em \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right], que é a imagem do arco seno. Todos os ângulos \frac{2\pi}{3^n} com n\ge1 estão em [0,\pi]. O caso n=0 é direto.

Calculando cada termo:

  1. n=0: \cos 2\pi=1, então f=\text{arcsen}(1)=\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{81\pi}{162}.
  2. n=1: \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{27\pi}{162}.
  3. n=2: \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\pi}{9}=\dfrac{5\pi}{18}=\dfrac{45\pi}{162}.
  4. n=3: \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\pi}{27}=\dfrac{23\pi}{54}=\dfrac{69\pi}{162}.
  5. n=4: \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\pi}{81}=\dfrac{77\pi}{162}.

Somando os numeradores: 81-27+45+69+77=245.

\sum_{n=0}^{4} f\left(\cos\frac{2\pi}{3^n}\right)=\frac{245}{162}\pi

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErra a soma dos numeradores (253 em vez de 245), provavelmente por erro de conta em algum termo.
  • CNão corresponde à soma; o resultado é positivo, pois todos os termos são positivos, exceto -\pi/6, que é pequeno.
  • DValor negativo, incompatível com a soma; provavelmente trata o arco seno como se fosse -\theta.
  • EValor negativo, resultante de errar o sinal ou a redução dos arcos.

Assunto: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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Fonte: ITA 2019 · 1ª fase. Prova oficial ↗