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Questão 45 do ITA 2019

1ª fase · Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det(M) : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
M^T : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere as seguintes afirmações a respeito de matrizes A de ordem n \times n inversíveis, tais que seus elementos e os de sua inversa sejam todos números inteiros:

I. |\det(A)| = 1.

II. A^T = A^{-1}.

III. A + A^{-1} é uma matriz diagonal.

É(são) sempre VERDADEIRA(S)

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas III.
  3. C
    apenas I e II.
  4. D
    apenas I e III.
  5. E
    todas.
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Resolução comentada

I. Como A e A^{-1} têm entradas inteiras, \det(A) e \det(A^{-1}) são inteiros (o determinante é soma de produtos de inteiros). Além disso, \det(A)\cdot\det(A^{-1}) = \det(I) = 1. Dois inteiros de produto 1 só podem ser 1 e 1 ou -1 e -1. Logo |\det(A)| = 1. Afirmação verdadeira.

II. Pedir A^T = A^{-1} é dizer que A é ortogonal, o que não vale sempre. Contraexemplo: A = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}. Seu determinante é 1 e sua inversa é \begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 1\end{pmatrix}, também de entradas inteiras. Mas A^T = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix} \neq A^{-1}. Afirmação falsa.

III. Com a mesma matriz do contraexemplo:

A + A^{-1} = \begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}

que é diagonal, então esse exemplo não derruba a afirmação. Tentamos outro: A = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}, com \det = 1 e A^{-1} = \begin{pmatrix}2 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix}, ambas inteiras. Então

A + A^{-1} = \begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}

que de novo é diagonal. Testamos então A = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix}, com A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -2\\ 0 & 1\end{pmatrix}, e a soma é diagonal outra vez. Falta um caso que quebre. Tome A = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix} em blocos? Mais simples: A = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}, com \det = 1 e A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}, e a soma é \begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}. Em ordem 2 isso sempre ocorre, mas em ordem 3 não: A = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix} tem inversa \begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}, inteira, e a soma tem entradas 0 e 1 fora da diagonal principal (por exemplo, 1 + (-1) = 0 e 0 + 1 = 1 na posição (1,3)). Logo não é diagonal. Afirmação falsa.

Só a I é sempre verdadeira.

Alternativa A.

Pegadinha: A III parece verdadeira por valer em vários exemplos 2x2, mas falha em ordem maior.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BA III falha: em ordem 3, a matriz triangular com 1 na diagonal e na superdiagonal gera soma não diagonal.
  • CA II (A transposta igual à inversa) só vale para matrizes ortogonais; a matriz [[1,1],[0,1]] é contraexemplo.
  • DInclui a III, que falha em ordem 3, mesmo valendo nos exemplos 2x2.
  • EII e III não valem sempre.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Fonte: ITA 2019 · 1ª fase. Prova oficial ↗