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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Matemática) do ITA 2018

Matemática · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
\vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\mathrm{d}(A, B) : distância do ponto A ao ponto B
\mathrm{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
\hat{A} : medida do ângulo do vértice A
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
(f \circ g)(x) = f(g(x))
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Sobre duas retas paralelas r e s são tomados 13 pontos, m pontos em r e n pontos em s, sendo m > n. Com os pontos são formados todos os triângulos e quadriláteros convexos possíveis. Sabe-se que o quociente entre o número de quadriláteros e o número de triângulos é 15/11. Então, os valores de n e m são, respectivamente,

  1. A
    2 e 11.
  2. B
    3 e 10.
  3. C
    4 e 9.
  4. D
    5 e 8.
  5. E
    6 e 7.
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Resolução comentada

Como m+n=13 e os pontos de cada reta são colineares, contamos assim:

Triângulos: escolhemos 3 pontos que não sejam todos da mesma reta, ou seja, 2 pontos em uma reta e 1 na outra:

T=\binom{m}{2}n+\binom{n}{2}m=\frac{mn(m-1)}{2}+\frac{mn(n-1)}{2}=\frac{mn(m+n-2)}{2}=\frac{11mn}{2}.

Quadriláteros convexos: precisamos de 2 pontos em r e 2 em s. Quaisquer 4 pontos assim formam um quadrilátero convexo (um trapézio), pois os lados paralelos ficam em retas diferentes. Logo:

Q=\binom{m}{2}\binom{n}{2}=\frac{m(m-1)n(n-1)}{4}.

Quociente:

\frac{Q}{T}=\frac{m(m-1)n(n-1)/4}{11mn/2}=\frac{(m-1)(n-1)}{22}=\frac{15}{11}.

Então (m-1)(n-1)=30.

Com m+n=13, temos (m-1)+(n-1)=11 e produto 30. Os números m-1 e n-1 são raízes de x^2-11x+30=0, isto é, 6 e 5.

Como m>n: m-1=6 e n-1=5, logo m=7 e n=6.

Conferência: 6\cdot7=42 e m+n=13. Verdadeiro. (6)(5)=30. Verdadeiro.

Portanto n=6 e m=7.

Alternativa E.

Pegadinha: A ordem pedida é n e m (respectivamente), e as alternativas trazem a ordem n e m com m>n; E lista 6 e 7, mas aqui n=6 e m=7 contradiz m>n, então a leitura cuidadosa da ordem importa.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom m=11 e n=2, (m-1)(n-1)=10, não 30.
  • BCom m=10 e n=3, (m-1)(n-1)=18, não 30.
  • CCom m=9 e n=4, (m-1)(n-1)=24, não 30.
  • DCom m=8 e n=5, (m-1)(n-1)=28, não 30.

Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Equação do 2º grau.

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Fonte: ITA 2018 · Matemática. Prova oficial ↗