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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Matemática) do ITA 2018

Matemática · Matemática: Equação do 2º grau

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
\vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\mathrm{d}(A, B) : distância do ponto A ao ponto B
\mathrm{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
\hat{A} : medida do ângulo do vértice A
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
(f \circ g)(x) = f(g(x))
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Para que o sistema \begin{cases} x + y &= 1 \\ x^3 + y^3 &= c^2 \end{cases} admita apenas soluções reais, todos os valores reais de c pertencem ao conjunto

  1. A
    \left] -\infty, -\dfrac{1}{4} \right[.
  2. B
    \left] -\infty, -\dfrac{1}{4} \right] \cup \left[ \dfrac{1}{4}, \infty \right[.
  3. C
    \left[ -\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{4} \right].
  4. D
    \left[ \dfrac{1}{2}, \infty \right[.
  5. E
    \left] -\infty, -\dfrac{1}{2} \right] \cup \left[ \dfrac{1}{2}, \infty \right[.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Use a identidade x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y).

  1. Como x+y=1, a segunda equação vira 1-3xy=c^2, ou seja, xy=\dfrac{1-c^2}{3}.

  2. Então x e y são as raízes de t^2-t+\dfrac{1-c^2}{3}=0, pois a soma das raízes é 1 e o produto é \dfrac{1-c^2}{3}.

  3. As soluções (x,y) são reais se, e somente se, as raízes dessa equação forem reais, isto é, \Delta\ge 0:

\Delta=1-4\cdot\frac{1-c^2}{3}=\frac{3-4+4c^2}{3}=\frac{4c^2-1}{3}\ge 0

  1. Logo 4c^2\ge 1, ou seja, c^2\ge\dfrac14, o que dá |c|\ge\dfrac12.

  2. Portanto c\le-\dfrac12 ou c\ge\dfrac12, isto é, c\in\left]-\infty,-\dfrac12\right]\cup\left[\dfrac12,\infty\right[.

O erro comum é parar em c^2\ge\frac14 e tomar \frac14 como limite de c, quando o limite de c é \frac12.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa B engana quem encontra c^2\ge\frac14 e esquece de extrair a raiz, ficando com \frac14 em vez de \frac12.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão tem relação com a condição \Delta\ge0; ignora que c^2\ge 1/4 exige |c|\ge 1/2.
  • BConfunde c^2\ge 1/4 com |c|\ge 1/4, esquecendo a raiz quadrada.
  • CIntervalo limitado que não corresponde à condição; os valores de c com |c| grande também servem.
  • DConsidera apenas c\ge 1/2 e esquece os valores negativos, pois c aparece ao quadrado.

Assuntos: Equação do 2º grau, Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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Fonte: ITA 2018 · Matemática. Prova oficial ↗