Questão 9 (Matemática) do ITA 2017

Question

Sejam S_1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y \geq ||x| - 1|\} e S_2 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + (y + 1)^2 \leq 25\}. A área da região S_1 \cap S_2 é

A
\dfrac{25}{4}\pi - 2.
B
\dfrac{25}{4}\pi - 1.
C
\dfrac{25}{4}\pi.
D
\dfrac{75}{4}\pi - 1.
E
\dfrac{75}{4}\pi - 2.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Matemática) do ITA 2017

Matemática · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det M : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
MN : produto das matrizes M e N
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Sejam S_1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y \geq ||x| - 1|\} e S_2 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + (y + 1)^2 \leq 25\}. A área da região S_1 \cap S_2 é

A
\dfrac{25}{4}\pi - 2.
B
\dfrac{25}{4}\pi - 1.
C
\dfrac{25}{4}\pi.
D
\dfrac{75}{4}\pi - 1.
E
\dfrac{75}{4}\pi - 2.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

S₁ é a região acima do gráfico de y=||x|-1|. Esse gráfico tem formato de "W": vale 1 em x=0, zero em x=\pm1, e depois cresce com y=|x|-1 para |x|\ge1.

S₂ é o disco de centro (0,-1) e raio 5.

A região S₁ é o que está acima do W. Vamos calcular a área do disco que fica acima do W.

O W toca o eixo x nos pontos (\pm1,0). Para |x|\ge1, a fronteira é y=|x|-1, ou seja, as retas y=x-1 e y=-x-1, que passam pelo centro (0,-1) quando x=0? Não: y=x-1 em x=0 dá -1, então passa pelo centro. Logo as retas y=x-1 e y=-x-1 partem do centro do disco, com inclinações \pm45^\circ.

O ângulo entre elas, acima do centro, é 90^\circ. Elas formam um setor circular de 90^\circ (a região y\ge|x|-1 dentro do disco), com área

\frac{1}{4}\pi\cdot5^2=\frac{25\pi}{4}.

Mas esse setor usa a fronteira y=|x|-1 também para |x|<1, e a fronteira real de S₁ ali é y=1-|x|, que fica acima. Logo falta retirar a região entre y=|x|-1 e y=1-|x|, para |x|\le1: é o quadrado de vértices (0,1), (1,0), (0,-1), (-1,0).

Esse quadrado (losango de diagonais 2 e 2) tem área

\frac{2\cdot2}{2}=2.

Área pedida:

\frac{25\pi}{4}-2.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

Bsubtrai só 1, errando a área do losango removido, que é 2.
Cesquece de retirar a região entre y=|x|-1 e y=1-|x| para |x|<1.
Dusa um setor de 270^\circ (3/4 do disco) e subtrai 1, sem sentido geométrico aqui.
Eusa 3/4 do disco em vez do setor de 90^\circ.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Função modular.

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Questão 9 no caderno Matemática do ITA 2017

Fonte: ITA 2017 · Matemática. Prova oficial ↗