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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Matemática) do ITA 2017

Matemática · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det M : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
MN : produto das matrizes M e N
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Sejam a, b, c, d números reais positivos e diferentes de 1. Das afirmações:

I. a^{(\log_c b)} = b^{(\log_c a)}.

II. \left(\dfrac{a}{b}\right)^{\log_d c} \left(\dfrac{b}{c}\right)^{\log_d a} \left(\dfrac{c}{a}\right)^{\log_d b} = 1.

III. \log_{ab}(bc) = \log_a c

é (são) verdadeira(s)

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas II.
  3. C
    apenas I e II.
  4. D
    apenas II e III.
  5. E
    todas.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Vamos testar cada afirmação usando a mudança de base e as propriedades dos logaritmos.

I. Tomando \log_c dos dois lados:

\log_c\left(a^{\log_c b}\right)=\log_c b\cdot\log_c a e \log_c\left(b^{\log_c a}\right)=\log_c a\cdot\log_c b.

São iguais, e como \log_c é injetora, a igualdade vale. Verdadeira.

II. Tomando \log_d do produto e chamando x=\log_d a, y=\log_d b, z=\log_d c:

\log_d(\text{produto}) = z(x-y)+x(y-z)+y(z-x)

Desenvolvendo: zx-zy+xy-xz+yz-yx=0.

Logo o produto vale d^0=1. Verdadeira.

III. Passando para uma base comum, \log_{ab}(bc)=\dfrac{\log_a(bc)}{\log_a(ab)}=\dfrac{\log_a b+\log_a c}{1+\log_a b}.

Para ser igual a \log_a c seria preciso \log_a b+\log_a c=\log_a c+\log_a b\cdot\log_a c, ou seja, \log_a b\,(1-\log_a c)=0. Isso não vale sempre. Exemplo: a=2, b=4, c=8: \log_8 32=\tfrac53, enquanto \log_2 8=3. Falsa.

Só I e II são verdadeiras.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que a II também é verdadeira: o expoente total se anula e o produto vale 1.
  • BIgnora que a I é verdadeira, pois ambos os lados têm o mesmo logaritmo \log_c a\cdot\log_c b.
  • DInclui a III, que é falsa em geral (contraexemplo a=2, b=4, c=8), e exclui a I.
  • EA III é falsa: \log_{ab}(bc) não se reduz a \log_a c.

Assunto: Logaritmos e função logarítmica.

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Fonte: ITA 2017 · Matemática. Prova oficial ↗