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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Matemática) do ITA 2017

Matemática · Matemática: Conjuntos e conjuntos numéricos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det M : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
MN : produto das matrizes M e N
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Sejam A = \{1, 2, 3, 4, 5\} e B = \{-1, -2, -3, -4, -5\}. Se C = \{xy : x \in A \text{ e } y \in B\}, então o número de elementos de C é

  1. A
    10.
  2. B
    11.
  3. C
    12.
  4. D
    13.
  5. E
    14.
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Resolução comentada

Como x>0 e y<0, escrevemos y=-k com k\in\{1,2,3,4,5\}. Então xy=-xk, e contar os elementos de C é o mesmo que contar os produtos distintos x\cdot k com x,k\in\{1,\dots,5\}. Trocar o sinal não junta nem separa valores.

Monte a tabuada de 1 a 5:

  1. Com x=1: 1,2,3,4,5.
  2. Com x=2: 2,4,6,8,10.
  3. Com x=3: 3,6,9,12,15.
  4. Com x=4: 4,8,12,16,20.
  5. Com x=5: 5,10,15,20,25.

Retirando as repetições, os produtos distintos são:

1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,20,25

São 14 valores. Logo C=\{-1,-2,-3,-4,-5,-6,-8,-9,-10,-12,-15,-16,-20,-25\} tem 14 elementos.

Alternativa E.

Pegadinha: Os produtos se repetem (por exemplo 2\cdot3=1\cdot6 não existe, mas 2\cdot6 não; já 2\cdot 4=8 e 4\cdot2=8), então não vale contar 5\cdot5=25 combinações nem esquecer repetições; é preciso listar os valores distintos.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AContar só 10 ignora vários produtos distintos, como 9, 15, 16 e 25.
  • BDeixa de contar alguns produtos distintos da tabuada (11 é pouco).
  • CContagem incompleta; faltam produtos como 16, 20 ou 25.
  • DFalta um único produto distinto; recontando a tabuada saem 14.

Assuntos: Conjuntos e conjuntos numéricos, Princípio fundamental da contagem.

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Fonte: ITA 2017 · Matemática. Prova oficial ↗