Questão 7 (Matemática) do ITA 2017

Para tirar o módulo, separamos em casos conforme o sinal de 3x^2+8x = x(3x+8). Essa expressão é \geq 0 quando x\le -\tfrac{8}{3} ou x\ge 0, e é negativa quando -\tfrac{8}{3}<x<0.

Caso 1: x\le -\tfrac{8}{3} ou x\ge 0. Aqui |3x^2+8x| = 3x^2+8x, então:

Precisamos de 0\le -2x^2-8x\le 2.

• -2x^2-8x\ge 0 \Rightarrow x(x+4)\le 0 \Rightarrow -4\le x\le 0.
• -2x^2-8x\le 2 \Rightarrow x^2+4x+1\ge 0 \Rightarrow x\le -2-\sqrt3 ou x\ge -2+\sqrt3. Como \sqrt3\approx1{,}73, isso dá x\le -3{,}73 ou x\ge -0{,}27.

Intersecionando com -4\le x\le 0, obtemos -4\le x\le -3{,}73 ou -0{,}27\le x\le 0. Impondo a condição do caso (x\le -2{,}67 ou x\ge 0), ficam -4\le x\le -3{,}73 e x=0. Os inteiros são -4 e 0.

Caso 2: -\tfrac{8}{3}<x<0. Aqui |3x^2+8x| = -3x^2-8x, então:

Precisamos de 0\le 4x^2+8x\le 2.

• 4x(x+2)\ge 0 \Rightarrow x\le -2 ou x\ge 0.
• 2x^2+4x-1\le 0 \Rightarrow x\in[-1-\tfrac{\sqrt6}{2},\,-1+\tfrac{\sqrt6}{2}]\approx[-2{,}22;\,0{,}22].

Intersecionando com o intervalo do caso, obtemos -2{,}22\le x\le -2. O único inteiro é -2. Conferindo: x=-2 dá 4(4)-16=0, que satisfaz.

Os inteiros que servem são -4, -2 e 0. Conferindo x=-4: 16-|48-32|=0, que satisfaz. Conferindo x=0: 0, que satisfaz.

São 3 soluções inteiras.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta só uma das soluções (por exemplo, x=0) e ignora -4 e -2.
• BEsquece o caso em que o módulo troca de sinal, perdendo x=-2, ou perde x=-4.
• DInclui um inteiro que não satisfaz, como -1 ou -3, que falham na inequação.
• EConta valores inteiros fora dos intervalos corretos, sem testar a condição de cada caso.

Assuntos: Função modular, Inequações e desigualdades.

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