Questão 1 (Matemática) do ITA 2017

Question

Sejam X e Y dois conjuntos finitos com X \subset Y e X \neq Y. Considere as seguintes afirmações:

I. Existe uma bijeção f : X \to Y.

II. Existe uma função injetora g : Y \to X.

III. O número de funções injetoras f : X \to Y é igual ao número de funções sobrejetoras g : Y \to X.

É (são) verdadeira(s)

A
nenhuma delas.
B
apenas I.
C
apenas III.
D
apenas I e II.
E
todas.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Matemática) do ITA 2017

Matemática · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det M : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
MN : produto das matrizes M e N
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Sejam X e Y dois conjuntos finitos com X \subset Y e X \neq Y. Considere as seguintes afirmações:

I. Existe uma bijeção f : X \to Y.

II. Existe uma função injetora g : Y \to X.

III. O número de funções injetoras f : X \to Y é igual ao número de funções sobrejetoras g : Y \to X.

É (são) verdadeira(s)

A
nenhuma delas.
B
apenas I.
C
apenas III.
D
apenas I e II.
E
todas.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Sejam |X|=m e |Y|=n. Como X \subset Y e X \neq Y, e os conjuntos são finitos, temos m<n.

I. Uma bijeção exige |X|=|Y|. Como m<n, não existe bijeção entre eles. Falsa.

II. Uma função injetora g:Y\to X exige que elementos distintos de Y tenham imagens distintas em X, ou seja, n\le m. Como n>m, pelo princípio da casa dos pombos dois elementos de Y teriam a mesma imagem. Falsa.

III. Uma função injetora f:X\to Y exige m\le n, o que vale. Já uma função sobrejetora g:Y\to X também é possível, pois n>m.

O número de injetoras é \dfrac{n!}{(n-m)!}.

O número de sobrejetoras é \sum_{k=0}^{m}(-1)^k\binom{m}{k}(m-k)^n.

Testando o caso mais simples, m=1 e n=2:

Injetoras X\to Y: 2.
Sobrejetoras Y\to X: só existe 1 função de Y em X e ela é sobrejetora, logo 1.

Como 2\neq 1, a afirmação não vale em geral. Um contraexemplo basta para torná-la falsa.

Nenhuma das três afirmações é verdadeira.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BBijeção exige conjuntos com o mesmo número de elementos, mas |X|<|Y|.
COs números de injetoras e de sobrejetoras diferem; por exemplo, com m=1 e n=2 dá 2 contra 1.
DI e II são falsas: não há bijeção nem injetora de Y em X quando |Y|>|X|.
ENenhuma das afirmações é verdadeira.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Conceito de função, composta e inversa.

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Questão 1 no caderno Matemática do ITA 2017

Fonte: ITA 2017 · Matemática. Prova oficial ↗