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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Física) do ITA 2016

Física · Física: Leis de Kepler

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

1{,}0\text{ cal} = 4{,}2\text{ J} = 4{,}2 \times 10^7\text{ erg}. Calor específico da água: 1{,}0\text{ cal/g.K}. Massa específica da água: 1{,}0\text{ g/cm}^3.

Massa específica do ar: 1{,}2\text{ kg/m}^3. Velocidade do som no ar: 340\text{ m/s}.

Considere duas estrelas de um sistema binário em que cada qual descreve uma órbita circular em torno do centro de massa comum. Sobre tal sistema são feitas as seguintes afirmações:

I. O período de revolução é o mesmo para as duas estrelas.

II. Esse período é função apenas da constante gravitacional, da massa total do sistema e da distância entre ambas as estrelas.

III. Sendo \boldsymbol{R}_1 e \boldsymbol{R}_2 os vetores posição que unem o centro de massa dos sitema aos respectivos centros de massa das estrelas, tanto \boldsymbol{R}_1 como \boldsymbol{R}_2 varrem áreas de mesma magnitude num mesmo intervalo de tempo.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    ( ) Apenas a afirmação I é verdadeira.
  2. B
    ( ) Apenas a afirmação II é verdadeira.
  3. C
    ( ) Apenas a afirmação III é verdadeira.
  4. D
    ( ) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
  5. E
    ( ) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Num sistema binário, as duas estrelas giram em torno do centro de massa (CM), sempre alinhadas com ele e em lados opostos. Por isso, completam uma volta no mesmo tempo.

I: verdadeira. Se os períodos fossem diferentes, o alinhamento com o CM se perderia.

II: o raio de cada órbita é R_1=\frac{m_2}{M}d e R_2=\frac{m_1}{M}d, com M=m_1+m_2 e d a distância entre as estrelas. Para a estrela 1, a força gravitacional é a resultante centrípeta:

\frac{G m_1 m_2}{d^2}=m_1\,\omega^2 R_1=m_1\,\omega^2\frac{m_2}{M}d

Cancelando m_1 m_2:

\omega^2=\frac{GM}{d^3}\;\Rightarrow\;T=2\pi\sqrt{\frac{d^3}{GM}}

O período depende só de G, da massa total e da distância entre as estrelas. Afirmação verdadeira.

III: a velocidade areolar de cada estrela em órbita circular é \frac{A}{T}=\frac{\pi R^2}{T}. Como R_1\neq R_2 quando as massas são diferentes e o período é o mesmo, as áreas varridas no mesmo intervalo têm magnitudes diferentes. Afirmação falsa.

Portanto, só I e II são verdadeiras.

Alternativa D.

Pegadinha: A afirmação III engana por lembrar a 2ª lei de Kepler (área igual em tempos iguais), mas isso vale para uma mesma estrela, não para comparar duas estrelas com raios diferentes.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEsquece que II também é verdadeira: T = 2π√(d³/GM) depende só de G, M total e d.
  • BIgnora que I também é verdadeira: as duas estrelas têm o mesmo período.
  • CIII é falsa: os raios das órbitas diferem, então as áreas varridas por unidade de tempo diferem.
  • EConsidera III verdadeira, mas as áreas dependem de R², e R₁ ≠ R₂ se as massas forem diferentes; além disso omite II.

Assunto: Leis de Kepler.

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Fonte: ITA 2016 · Física. Prova oficial ↗