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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Física) do ITA 2012

Física · Física: Leis de Kepler

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Aceleração da gravidade g = 10\text{ m/s}^2; 1\text{ atm} = 10^5\text{ Pa}; Massa específica do ferro \rho = 7{,}8\text{ g/cm}^3. Raio da Terra R = 6400\text{ km}. Permeabilidade magnética do vácuo \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ N/A}^2.

Boa parte das estrelas do Universo formam sistemas binários nos quais duas estrelas giram em torno do centro de massa comum, CM. Considere duas estrelas esféricas de um sistema binário em que cada qual descreve uma órbita circular em torno desse centro. Sobre tal sistema são feitas duas afirmações:

I. O período de revolução é o mesmo para as duas estrelas e depende apenas da distância entre elas, da massa total deste binário e da constante gravitacional.

II. Considere que \vec{R}_1 e \vec{R}_2 são os vetores que ligam o CM ao respectivo centro de cada estrela. Num certo intervalo de tempo \Delta t, o raio vetor \vec{R}_1 varre uma certa área A. Durante este mesmo intervalo de tempo, o raio vetor \vec{R}_2 também varre uma área igual a A.

Diante destas duas proposições, assinale a alternativa correta.

  1. A
    As afirmações I e II são falsas.
  2. B
    Apenas a afirmação I é verdadeira.
  3. C
    Apenas a afirmação II é verdadeira.
  4. D
    As afirmações I e II são verdadeiras, mas a II não justifica a I.
  5. E
    As afirmações I e II são verdadeiras e, além disso, a II justifica a I.
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Resolução comentada

Sejam m_1 e m_2 as massas, r_1 e r_2 as distâncias de cada estrela ao CM e d = r_1 + r_2 a distância entre elas.

Afirmação I. As duas estrelas estão sempre alinhadas com o CM, em lados opostos. Por isso completam a volta no mesmo tempo, ou seja, têm o mesmo período T. Para a estrela 1, a força gravitacional é a resultante centrípeta:

\frac{G m_1 m_2}{d^2} = m_1 \omega^2 r_1 \Rightarrow \omega^2 = \frac{G m_2}{d^2 r_1}

Pela definição de CM, m_1 r_1 = m_2 r_2, logo r_1 = \dfrac{m_2 d}{m_1+m_2}. Substituindo:

\omega^2 = \frac{G(m_1+m_2)}{d^3} \Rightarrow T = 2\pi\sqrt{\frac{d^3}{G(m_1+m_2)}}

O período depende só de d, da massa total e de G. A afirmação I é verdadeira.

Afirmação II. Em movimento circular uniforme, a área varrida no tempo \Delta t é a de um setor de raio r e ângulo \omega\Delta t:

A = \tfrac{1}{2} r^2 \omega \Delta t

Como \omega é igual para as duas, a área é proporcional a r^2. Se m_1 \neq m_2, então r_1 \neq r_2 e as áreas são diferentes. A afirmação II é falsa em geral (só valeria para massas iguais).

Só a I é verdadeira.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C ou as que aceitam a II enganam: o período igual sugere áreas iguais, mas a área varrida depende do raio, que difere para massas diferentes.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera a I falsa, mas a dedução da terceira lei para o binário mostra que ela é verdadeira.
  • CInverte os valores: a II é falsa, pois as áreas dependem de r^2 e os raios diferem quando as massas diferem.
  • DToma a II como verdadeira, mas as áreas varridas são proporcionais a r^2 e só coincidem se as massas forem iguais.
  • EToma a II como verdadeira e ainda a usa como justificativa da I, o que está duplamente errado.

Assuntos: Leis de Kepler, Gravitação universal e satélites.

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Ver como caiu na prova Questão 10 no caderno Física do ITA 2012

Fonte: ITA 2012 · Física. Prova oficial ↗