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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Matemática) do ITA 2016

Matemática · Matemática: Sequências e padrões

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det M : determinante da matriz M
M^T : transposta da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
I_n : matriz identidade n \times n
MN : produto das matrizes M e N
\mathrm{d}(P,r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}
[a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}
]a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}
]a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja (a_1, a_2, a_3, \dots) a sequência definida da seguinte forma: a_1 = 1000 e a_n = \log_{10}(1 + a_{n-1}) para n \ge 2. Considere as afirmações a seguir:

I. A sequência (a_n) é decrescente.
II. a_n > 0 para todo n \ge 1.
III. a_n < 1 para todo n \ge 3.

É (são) verdadeira(s)

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas I e II.
  3. C
    apenas II e III.
  4. D
    I, II e III.
  5. E
    apenas III.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Calculando os primeiros termos: a_1 = 1000, a_2 = \log_{10}(1001) \approx 3{,}0004, a_3 = \log_{10}(1+a_2) \approx \log_{10}(4{,}0004) \approx 0{,}602.

II. Se a_{n-1} > 0, então 1 + a_{n-1} > 1 e \log_{10}(1+a_{n-1}) > 0. Como a_1 > 0, por indução todos os termos são positivos. Verdadeira.

I. Para x > 0, vale \log_{10}(1+x) < x. Isso porque 1 + x < 10^x para x>0: em x=1, 2<10, e 10^x cresce mais rápido que 1+x (em x=0 há igualdade, mas 10^x tem derivada 10^x\ln 10 > 1 para x\ge0). Assim, a_n = \log_{10}(1+a_{n-1}) < a_{n-1}, pois a_{n-1} > 0. A sequência é decrescente. Verdadeira.

III. Mostramos que a_3<1: a_2 < 4, logo 1+a_2 < 5 < 10 e a_3 = \log_{10}(1+a_2) < \log_{10}10 = 1. Como a sequência é decrescente (item I), a_n \le a_3 < 1 para todo n \ge 3. Verdadeira.

As três afirmações são verdadeiras.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que II e III também são verdadeiras: os termos são positivos e a partir de a_3 ficam abaixo de 1.
  • BOmite o item III, que é verdadeiro, pois a_3\approx0{,}6<1 e a sequência decresce.
  • CConsidera I falsa, mas \log_{10}(1+x)<x para x>0, então a sequência é decrescente.
  • ESó aceita III, mas I e II também valem.

Assuntos: Sequências e padrões, Logaritmos e função logarítmica.

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Fonte: ITA 2016 · Matemática. Prova oficial ↗