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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Matemática) do ITA 2016

Matemática · Matemática: Identidades, adição de arcos e arco duplo

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det M : determinante da matriz M
M^T : transposta da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
I_n : matriz identidade n \times n
MN : produto das matrizes M e N
\mathrm{d}(P,r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}
[a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}
]a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}
]a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Se \tg x = \sqrt{7} e x \in [\pi, \frac{3\pi}{2}], então \sen 3x é igual a

  1. A
    -\frac{\sqrt{14}}{8}.
  2. B
    \frac{\sqrt{14}}{8}.
  3. C
    \frac{\sqrt{14}}{4}.
  4. D
    -\frac{\sqrt{14}}{4}.
  5. E
    \frac{\sqrt{14}}{6}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Como x está no terceiro quadrante, seno e cosseno são negativos.

Primeiro, achamos \cos x e \sen x a partir de \tg x=\sqrt{7}:

  1. 1+\tg^2 x=\sec^2 x \Rightarrow \sec^2 x = 8 \Rightarrow \cos^2 x=\dfrac{1}{8}.
  2. Com \cos x<0: \cos x=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}.
  3. \sen x=\tg x\cdot\cos x=\sqrt{7}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{14}}{4}.

Agora usamos a fórmula do arco triplo: \sen 3x = 3\sen x-4\sen^3 x = \sen x\,(3-4\sen^2 x).

  1. \sen^2 x=\dfrac{14}{16}=\dfrac{7}{8}, então 3-4\cdot\dfrac{7}{8}=3-\dfrac{7}{2}=-\dfrac{1}{2}.
  2. \sen 3x=\left(-\dfrac{\sqrt{14}}{4}\right)\left(-\dfrac12\right)=\dfrac{\sqrt{14}}{8}.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana por trazer \sen x (e A por trocar o sinal): é preciso aplicar o arco triplo e notar que dois negativos dão resultado positivo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErra o sinal: esquece que \sen x e o fator 3-4\sen^2x são ambos negativos, e o produto é positivo.
  • CErra a conta final, deixando denominador 4 em vez de 8 (ignora o fator -\tfrac12).
  • DÉ o valor de \sen x, não de \sen 3x.
  • EValor sem relação com as contas; denominador 6 não aparece no cálculo.

Assuntos: Identidades, adição de arcos e arco duplo, Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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Fonte: ITA 2016 · Matemática. Prova oficial ↗