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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Matemática) do ITA 2016

Matemática · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det M : determinante da matriz M
M^T : transposta da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
I_n : matriz identidade n \times n
MN : produto das matrizes M e N
\mathrm{d}(P,r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}
[a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}
]a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}
]a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Em um triângulo equilátero ABC de lado 2, considere os pontos P, M e N pertencentes aos lados \overline{AB}, \overline{BC} e \overline{AC}, respectivamente, tais que

a) P é o ponto médio de \overline{AB};

b) M é o ponto médio de \overline{BC};

c) PN é a bissetriz do ângulo A\hat{P}C.

Então, o comprimento do segmento \overline{MN} é igual a

  1. A
    \sqrt{10 - 4\sqrt{3}}
  2. B
    \sqrt{5 - 2\sqrt{3}}
  3. C
    \sqrt{6 - 3\sqrt{3}}
  4. D
    \sqrt{10 - 5\sqrt{3}}
  5. E
    \sqrt{5\sqrt{3} - 5}
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Resolução comentada

Como P é ponto médio de AB e o triângulo é equilátero, CP é a mediana e também a altura. Então CP=\sqrt{3} e o ângulo A\hat{P}C mede 90^\circ. Além disso, AP=1.

A bissetriz PN divide o ângulo reto em dois de 45^\circ. Pelo teorema da bissetriz interna no triângulo APC, ela divide o lado oposto AC em partes proporcionais aos lados adjacentes:

\frac{AN}{NC}=\frac{AP}{PC}=\frac{1}{\sqrt{3}}

Como AN+NC=2, temos AN=\dfrac{2}{1+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1 e NC=2-(\sqrt{3}-1)=3-\sqrt{3}.

Agora olhe o triângulo NCM: M é ponto médio de BC, então CM=1. O ângulo em C mede 60^\circ. Pela lei dos cossenos:

  1. MN^2 = NC^2 + CM^2 - 2\cdot NC\cdot CM\cos 60^\circ
  2. NC^2=(3-\sqrt{3})^2=12-6\sqrt{3}
  3. MN^2 = 12-6\sqrt{3}+1-(3-\sqrt{3})
  4. MN^2 = 10-5\sqrt{3}

Logo MN=\sqrt{10-5\sqrt{3}}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErra a lei dos cossenos, usando o termo -2\cdot NC\cdot CM\cos60^\circ como -\sqrt{3}\\,NC em vez de -NC (ou equivalente), e não chega a 10-5\sqrt{3}.
  • BResultado que não sai das medidas corretas NC=3-\sqrt{3} e CM=1; provavelmente de uma razão errada na bissetriz.
  • CValor sem relação com a lei dos cossenos correta; coeficientes não batem com 12-6\sqrt{3}+1-(3-\sqrt{3}).
  • EExpressão que não resulta de MN^2=10-5\sqrt{3}; forma incompatível com a conta.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Fonte: ITA 2016 · Matemática. Prova oficial ↗