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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Matemática) do ITA 2016

Matemática · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det M : determinante da matriz M
M^T : transposta da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
I_n : matriz identidade n \times n
MN : produto das matrizes M e N
\mathrm{d}(P,r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}
[a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}
]a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}
]a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Sejam \lambda uma circunferência de raio 4\text{ cm} e \overline{PQ} uma corda em \lambda de comprimento 4\text{ cm}. As tangentes a \lambda em P e em Q interceptam-se no ponto R exterior a \lambda. Então, a área do triângulo PQR, em \text{cm}^2, é igual a

  1. A
    \dfrac{2\sqrt{3}}{3}.
  2. B
    \dfrac{3\sqrt{2}}{2}.
  3. C
    \dfrac{\sqrt{6}}{2}.
  4. D
    \dfrac{2\sqrt{3}}{5}.
  5. E
    \dfrac{4\sqrt{3}}{3}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Seja O o centro da circunferência. Como OP = OQ = 4 e PQ = 4, o triângulo OPQ é equilátero, então o ângulo central P\hat{O}Q = 60^\circ.

A tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência, então O\hat{P}R = O\hat{Q}R = 90^\circ. No quadrilátero OPRQ, o ângulo em R vale 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ.

Os segmentos RP e RQ são iguais (tangentes traçadas de um mesmo ponto). A reta OR é bissetriz de P\hat{O}Q, logo P\hat{O}R = 30^\circ. No triângulo retângulo OPR:

  1. RP = OP\cdot \tg 30^\circ = 4\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}.
  2. Área do triângulo PQR, com dois lados iguais a RP e ângulo de 120^\circ entre eles:
A = \frac{1}{2}\cdot RP^2\cdot \sen 120^\circ = \frac{1}{2}\cdot\frac{16}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\ \text{cm}^2.

Conferindo pela base e altura: OR = \dfrac{4}{\cos 30^\circ} = \dfrac{8\sqrt{3}}{3} e a distância de O à corda é 2\sqrt{3}. A altura vale \dfrac{8\sqrt{3}}{3} - 2\sqrt{3} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}, e a área é \dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot\dfrac{2\sqrt{3}}{3} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}. O resultado confere.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor pela metade do correto; provavelmente erra a altura ou esquece um fator 2 na área.
  • BNão resulta de nenhum cálculo coerente com o ângulo de 120° e as tangentes de 30°.
  • CValor sem relação com a geometria da figura, vindo de um erro nas relações trigonométricas.
  • DValor sem relação com a geometria da figura, obtido com razão trigonométrica incorreta.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: ITA 2016 · Matemática. Prova oficial ↗