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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Matemática) do ITA 2016

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det M : determinante da matriz M
M^T : transposta da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
I_n : matriz identidade n \times n
MN : produto das matrizes M e N
\mathrm{d}(P,r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}
[a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}
]a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}
]a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere as afirmações a seguir:

I. Se z e w são números complexos tais que z - iw = 1 - 2i e w - z = 2 + 3i, então z^2 + w^2 = -3 + 6i.

II. A soma de todos os números complexos z que satisfazem 2|z|^2 + z^2 = 4 + 2i é igual a zero.

III. Se z = 1 - i, então z^{59} = 2^{29}(-1 + i).

É (são) verdadeira(s)

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas I e II.
  3. C
    apenas I e III.
  4. D
    apenas II e III.
  5. E
    I, II e III.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Afirmação I. Somando as duas equações: z - iw + w - z = (1-2i)+(2+3i), ou seja, w(1-i) = 3+i.

Então w = \frac{3+i}{1-i} = \frac{(3+i)(1+i)}{2} = \frac{2+4i}{2} = 1+2i.

De w - z = 2+3i: z = w - 2 - 3i = -1 - i.

Conferindo a primeira equação: z - iw = -1 - i - i(1+2i) = -1 - i - i + 2 = 1 - 2i. ✓.

Agora: z^2 = (1+i)^2 = 2i e w^2 = 1 + 4i - 4 = -3+4i. Logo z^2+w^2 = -3+6i. I é verdadeira.

Afirmação II. Seja z = x+yi. Então |z|^2 = x^2+y^2 e z^2 = x^2 - y^2 + 2xyi.

A equação fica 2x^2+2y^2 + x^2 - y^2 + 2xyi = 4+2i, isto é, 3x^2 + y^2 = 4 e xy = 1.

De y = 1/x: 3x^4 - 4x^2 + 1 = 0, logo x^2 = 1 ou x^2 = 1/3.

As soluções vêm em pares opostos: (x,y) e (-x,-y) também satisfazem (xy=1 e 3x^2+y^2=4 se mantêm). A soma é zero. II é verdadeira.

Afirmação III. z = 1-i = \sqrt2\,(\cos(-45^\circ) + i\,\sen(-45^\circ)).

z^{59} tem módulo 2^{59/2} e argumento -59\cdot 45^\circ = -2655^\circ. Como 2655 = 7\cdot360 + 135, o argumento equivale a -135^\circ.

Assim, z^{59} = 2^{59/2}\left(-\frac{\sqrt2}{2} - i\frac{\sqrt2}{2}\right) = 2^{29}(-1 - i).

O enunciado diz 2^{29}(-1+i), então III é falsa.

Só I e II são verdadeiras.

Alternativa B.

Pegadinha: A afirmação III engana: o argumento -135^\circ dá -1-i, e a alternativa traz -1+i, que é o conjugado.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que II é verdadeira: as soluções de II vêm em pares opostos z e -z, somando zero.
  • CConsidera III verdadeira, mas z^{59} = 2^{29}(-1-i), e não 2^{29}(-1+i); além disso exclui II, que é verdadeira.
  • DExclui I, que é verdadeira (z=-1-i, w=1+2i), e inclui III, que é falsa.
  • EInclui III, que é falsa por erro de sinal na parte imaginária.

Assunto: Números complexos.

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Fonte: ITA 2016 · Matemática. Prova oficial ↗