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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Matemática) do ITA 2016

Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det M : determinante da matriz M
M^T : transposta da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
I_n : matriz identidade n \times n
MN : produto das matrizes M e N
\mathrm{d}(P,r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}
[a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}
]a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}
]a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Se M = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} e N = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}, então MN^T - M^{-1}N é igual a

  1. A
    \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{5}{2} \\[6pt] \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} \end{bmatrix}
  2. B
    \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\[6pt] \frac{7}{2} & -\frac{5}{2} \end{bmatrix}
  3. C
    \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{11}{2} \\[6pt] \frac{13}{2} & -\frac{5}{2} \end{bmatrix}
  4. D
    \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{5}{2} \\[6pt] \frac{13}{2} & -\frac{3}{2} \end{bmatrix}
  5. E
    \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{11}{2} \\[6pt] \frac{13}{2} & -\frac{3}{2} \end{bmatrix}
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Resolução comentada

Precisamos de três coisas: N^T, M^{-1} e os dois produtos.

1. Transposta de N: trocamos linhas por colunas.

N^T=\begin{bmatrix}2&-1\\1&3\end{bmatrix}

2. Inversa de M: \det M = 1\cdot 0-(-1)\cdot 2 = 2. Para matriz 2\times2, troca-se a diagonal principal, muda-se o sinal da secundária e divide-se pelo determinante:

M^{-1}=\frac12\begin{bmatrix}0&1\\-2&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&\frac12\\-1&\frac12\end{bmatrix}

3. Produto MN^T:

  • linha 1: 1\cdot2+(-1)\cdot1=1 e 1\cdot(-1)+(-1)\cdot3=-4
  • linha 2: 2\cdot2+0=4 e 2\cdot(-1)+0=-2
    MN^T=\begin{bmatrix}1&-4\\4&-2\end{bmatrix}

4. Produto M^{-1}N:

  • linha 1: 0\cdot2+\frac12(-1)=-\frac12 e 0\cdot1+\frac12\cdot3=\frac32
  • linha 2: -1\cdot2+\frac12(-1)=-\frac52 e -1\cdot1+\frac12\cdot3=\frac12
    M^{-1}N=\begin{bmatrix}-\frac12&\frac32\\-\frac52&\frac12\end{bmatrix}

5. Subtração:

\begin{bmatrix}1+\frac12&-4-\frac32\\4+\frac52&-2-\frac12\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac32&-\frac{11}{2}\\frac{13}{2}&-\frac52\end{bmatrix}

Essa é a matriz da alternativa C.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana: só difere da correta no elemento (2,2), erro comum ao subtrair -2-\frac12.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AElementos incorretos nas posições (1,2) e (2,1), que não correspondem a -\frac{11}{2} e \frac{13}{2}.
  • BOs elementos fora da diagonal (-\frac12 e \frac72) não resultam da subtração correta.
  • DMistura entradas erradas: -\frac52 e -\frac32 não batem com o resultado.
  • EAcerta três entradas, mas erra a (2,2): -2-\frac12=-\frac52, não -\frac32.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Fonte: ITA 2016 · Matemática. Prova oficial ↗