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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Matemática) do ITA 2016

Matemática · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det M : determinante da matriz M
M^T : transposta da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
I_n : matriz identidade n \times n
MN : produto das matrizes M e N
\mathrm{d}(P,r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}
[a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}
]a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}
]a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere as seguintes afirmações:

I. A função f(x) = \log_{10} \left(\frac{x-1}{x}\right) é estritamente crescente no intervalo ]1, +\infty[.

II. A equação 2^{x+2} = 3^{x-1} possui uma única solução real.

III. A equação (x + 1)^x = x admite pelo menos uma solução real positiva.

É (são) verdadeira(s)

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas I e II.
  3. C
    apenas II e III.
  4. D
    I, II e III.
  5. E
    apenas III.
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Resolução comentada

Vamos testar cada afirmação.

I. Escreva \frac{x-1}{x} = 1 - \frac{1}{x}. Para x>1, quando x cresce, \frac{1}{x} diminui, logo 1-\frac1x aumenta. Como \log_{10} é crescente, a composição é estritamente crescente em ]1,+\infty[. Verdadeira.

II. Aplicando logaritmo dos dois lados:

(x+2)\log 2 = (x-1)\log 3
x(\log 2 - \log 3) = -\log 3 - 2\log 2

Como \log 2 \neq \log 3, o coeficiente de x não é zero, e a equação do 1º grau tem exatamente uma solução: x = \frac{\log 3 + 2\log 2}{\log 3 - \log 2} = \frac{\log 12}{\log 1{,}5}. Verdadeira.

III. Para x>0, defina g(x) = (x+1)^x - x. Pelo teorema do valor intermediário, basta achar sinais opostos.

  1. Para x próximo de 0^+: (x+1)^x \to 1 e x\to 0, então g \to 1 > 0.
  2. Para x=1: g(1) = 2 - 1 = 1>0.
  3. Para x>0 qualquer, x+1>1, e (x+1)^x>1. Além disso, (x+1)^x \ge 1 + x\cdot x (Bernoulli, pois x>0 e expoente x... só vale para expoente \ge1).

Para x\ge1: Bernoulli dá (1+x)^x \ge 1+x^2 > x, logo g>0. Para 0<x<1: (x+1)^x > 1 > x, logo g>0. Então g(x)>0 para todo x>0 e não há solução positiva. Falsa.

Só I e II são verdadeiras.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que 2^{x+2}=3^{x-1} tem solução única, pois as bases distintas dão equação do 1º grau em x após os logaritmos.
  • CConsidera a III verdadeira e deixa de fora a I, mas (x+1)^x>x para todo x>0 e a I é verdadeira.
  • DAfirma que a III é verdadeira, mas (x+1)^x>x para todo x>0.
  • EA III é falsa, não existe solução positiva.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Função exponencial.

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Fonte: ITA 2016 · Matemática. Prova oficial ↗