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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Matemática) do ITA 2016

Matemática · Matemática: Notação científica e ordem de grandeza

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det M : determinante da matriz M
M^T : transposta da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
I_n : matriz identidade n \times n
MN : produto das matrizes M e N
\mathrm{d}(P,r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}
[a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}
]a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}
]a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Se x é um número natural com 2015 dígitos, então o número de dígitos da parte inteira de \sqrt[7]{x} é igual a

  1. A
    285.
  2. B
    286.
  3. C
    287.
  4. D
    288.
  5. E
    289.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Um número natural com n dígitos satisfaz 10^{n-1} \le x < 10^{n}. Aqui n = 2015, então:

10^{2014} \le x < 10^{2015}

Tirando a raiz sétima (função crescente, mantém as desigualdades):

10^{2014/7} \le \sqrt[7]{x} < 10^{2015/7}

Agora calculamos os expoentes:

  1. 2014/7 = 287{,}714..., pois 7 \cdot 287 = 2009 e sobram 5, ou seja, 287 + 5/7.
  2. 2015/7 = 287{,}857..., pois 7 \cdot 287 = 2009 e sobram 6, ou seja, 287 + 6/7.

Logo:

10^{287{,}71...} \le \sqrt[7]{x} < 10^{287{,}85...}

Um número y com 10^{k} \le y < 10^{k+1} tem k+1 dígitos na parte inteira. Como os dois extremos estão entre 10^{287} e 10^{288}, temos 287 \le \log \sqrt[7]{x} < 288, portanto k = 287.

A parte inteira de \sqrt[7]{x} tem 287 + 1 = 288 dígitos.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem toma a parte inteira do logaritmo (287) como número de dígitos, esquecendo de somar 1.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa um expoente muito menor, provavelmente dividindo errado 2015 por 7 (ignora o valor correto 287,7).
  • BTambém resulta de erro na divisão 2015/7, chegando a 286 dígitos.
  • CUsa o expoente 287 como número de dígitos, esquecendo de somar 1 (10^287 tem 288 dígitos).
  • EArredonda o expoente 287,857 para cima (288) e soma 1, ignorando que a parte inteira do logaritmo é 287.

Assuntos: Notação científica e ordem de grandeza, Potenciação e radiciação.

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Fonte: ITA 2016 · Matemática. Prova oficial ↗