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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Matemática) do ITA 2015

Matemática · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

\operatorname{tr} A : traço da matriz quadrada A, que é definido como a soma dos elementos da diagonal principal de A.

Potência de matriz : A^1 = A, A^2 = A \cdot A, \ldots, A^k = A^{k-1} \cdot A, sendo A matriz quadrada e k inteiro positivo.

\operatorname{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r

\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

\sum_{k=0}^n a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere a equação \frac{a}{1 - x^2} - \frac{b}{x - 1/2} = 5, com a e b números inteiros positivos. Das afirmações:

I. Se a = 1 e b = 2, então x = 0 é uma solução da equação.

II. Se x é solução da equação, então x \neq \frac{1}{2}, x \neq -1 e x \neq 1.

III. x = \frac{2}{3} não pode ser solução da equação.

É (são) verdadeira(s)

  1. A
    apenas II.
  2. B
    apenas I e II.
  3. C
    apenas I e III.
  4. D
    apenas II e III.
  5. E
    I, II e III.
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Resolução comentada

Para cada afirmação, substituímos os valores e consideramos as restrições do domínio.

I. Com a=1, b=2 e x=0:

\frac{1}{1-0}-\frac{2}{0-1/2}=1-\frac{2}{-1/2}=1+4=5.

O resultado é 5, então I é verdadeira.

II. A equação só existe se os denominadores forem não nulos. Temos 1-x^2\neq 0, ou seja, x\neq 1 e x\neq -1. Também x-\tfrac12\neq 0, ou seja, x\neq \tfrac12. Se x é solução, ele precisa estar no domínio, logo II é verdadeira.

III. Substituindo x=\tfrac23:

  • 1-x^2=1-\tfrac49=\tfrac59, então o primeiro termo é \tfrac{9a}{5}.
  • x-\tfrac12=\tfrac23-\tfrac12=\tfrac16, então o segundo termo é 6b.

A equação fica:

\frac{9a}{5}-6b=5 \Rightarrow 9a-30b=25.

O lado esquerdo é múltiplo de 3, pois 9a e 30b são múltiplos de 3. O lado direito, 25, não é múltiplo de 3. Logo não existem inteiros a e b que satisfaçam isso, e x=\tfrac23 não pode ser solução. III é verdadeira.

As três afirmações são verdadeiras.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que I e III também são verdadeiras.
  • BConsidera III falsa, mas 9a-30b=25 é impossível em inteiros, pois o lado esquerdo é múltiplo de 3.
  • CConsidera II falsa, mas as restrições de domínio x\neq \tfrac12, \pm1 valem.
  • DConsidera I falsa, mas a substituição de x=0 dá exatamente 5.

Assuntos: Equações do 1º grau e problemas, Divisibilidade, MMC e MDC.

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Fonte: ITA 2015 · Matemática. Prova oficial ↗