Questão 5 (Matemática) do ITA 2015

Question

Seja (a_1, a_2, a_3, \text{...}) a sequência definida da seguinte forma: a_1 = 1, a_2 = 1 e a_n = a_{n-1} + a_{n-2} para n \ge 3. Considere as afirmações a seguir:

I. Existem três termos consecutivos, a_p, a_{p+1}, a_{p+2}, que, nesta ordem, formam uma progressão geométrica.

II. a_7 é um número primo.

III. Se n é múltiplo de 3, então a_n é par.

É (são) verdadeira(s)

A
apenas II.
B
apenas I e II.
C
apenas I e III.
D
apenas II e III.
E
I, II e III.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Matemática) do ITA 2015

Matemática · Matemática: Sequências e padrões

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

\operatorname{tr} A : traço da matriz quadrada A, que é definido como a soma dos elementos da diagonal principal de A.

Potência de matriz : A^1 = A, A^2 = A \cdot A, \ldots, A^k = A^{k-1} \cdot A, sendo A matriz quadrada e k inteiro positivo.

\operatorname{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r

\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

\sum_{k=0}^n a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja (a_1, a_2, a_3, \text{...}) a sequência definida da seguinte forma: a_1 = 1, a_2 = 1 e a_n = a_{n-1} + a_{n-2} para n \ge 3. Considere as afirmações a seguir:

I. Existem três termos consecutivos, a_p, a_{p+1}, a_{p+2}, que, nesta ordem, formam uma progressão geométrica.

II. a_7 é um número primo.

III. Se n é múltiplo de 3, então a_n é par.

É (são) verdadeira(s)

A
apenas II.
B
apenas I e II.
C
apenas I e III.
D
apenas II e III.
E
I, II e III.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A sequência é a de Fibonacci. Listando os primeiros termos: a_1=1,\ a_2=1,\ a_3=2,\ a_4=3,\ a_5=5,\ a_6=8,\ a_7=13,\ a_8=21,\ a_9=34.

I. Três termos consecutivos formam PG quando a_{p+1}^2=a_p\cdot a_{p+2}. Com a_{p+2}=a_{p+1}+a_p, a condição vira a_{p+1}^2=a_p a_{p+1}+a_p^2, ou seja, x^2-xy-y^2=0 com x=a_{p+1} e y=a_p. Isso exige x/y=\frac{1+\sqrt5}{2}, que é irracional. Mas x/y é razão de inteiros, logo é racional. Portanto nunca ocorre. Teste: 1,1,2 não é PG, pois 1^2\neq 1\cdot 2. A afirmação é falsa.

II. a_7=13, que só tem divisores 1 e 13. É primo, então é verdadeira.

III. Se n é múltiplo de 3, a_n é par: a_3=2,\ a_6=8,\ a_9=34. Para provar, veja a paridade (I = ímpar, P = par): ímpar, ímpar, par, ímpar, ímpar, par, ... Como cada termo é a soma dos dois anteriores, o padrão (ímpar, ímpar, par) se repete com período 3. Então os termos nas posições múltiplas de 3 são sempre pares. É verdadeira.

Só II e III são verdadeiras.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AEsquece que a III também é verdadeira, pois a paridade se repete com período 3.
BConsidera a I verdadeira, mas a razão exigida seria irracional, o que é impossível para inteiros, e ainda omite a III.
CAceita a I como verdadeira e rejeita a II, apesar de 13 ser primo.
EInclui a I, que é falsa porque nenhuma terna consecutiva forma PG.

Assuntos: Sequências e padrões, Divisibilidade, MMC e MDC, Progressão geométrica.

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Questão 5 no caderno Matemática do ITA 2015

Fonte: ITA 2015 · Matemática. Prova oficial ↗