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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Matemática) do ITA 2015

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

\operatorname{tr} A : traço da matriz quadrada A, que é definido como a soma dos elementos da diagonal principal de A.

Potência de matriz : A^1 = A, A^2 = A \cdot A, \ldots, A^k = A^{k-1} \cdot A, sendo A matriz quadrada e k inteiro positivo.

\operatorname{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r

\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

\sum_{k=0}^n a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere o polinômio p dado por p(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 16, com a, b \in \mathbb{R}. Sabendo-se que p admite raiz dupla e que 2 é uma raiz de p, então o valor de b - a é igual a

  1. A
    -36.
  2. B
    -12.
  3. C
    6.
  4. D
    12.
  5. E
    24.
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Resolução comentada

Um polinômio de grau 3 com raiz dupla tem raízes r, r, s. Como 2 é raiz, há dois casos: 2 é a raiz dupla ou 2 é a raiz simples.

Usamos as relações de Girard para 2x^3+ax^2+bx-16: o produto das raízes é -\frac{-16}{2}=8, a soma é -\frac{a}{2} e a soma dos produtos dois a dois é \frac{b}{2}.

Caso 1: raízes 2, 2, s.

  1. Produto: 4s=8, logo s=2.
  2. Então 2 seria raiz tripla, e p seria 2(x-2)^3. Isso conta como raiz dupla apenas em sentido amplo, então vamos checar o outro caso.

Caso 2: raízes r, r, 2 com r\neq 2.

  1. Produto: 2r^2=8, logo r^2=4 e r=\pm2. Como r\ne2, temos r=-2.
  2. Raízes: -2,-2,2.
  3. Soma: -2, então -\frac{a}{2}=-2 e a=4.
  4. Soma dos produtos dois a dois: 4-4-4=-4, então \frac{b}{2}=-4 e b=-8.
  5. Verificação: p(2)=16+16-16-16=0. ✓

Assim, b-a=-8-4=-12.

No caso 1, 2(x-2)^3=2x^3-12x^2+24x-16 daria b-a=36, que não aparece nas alternativas. Só o caso 2 tem resposta entre as opções.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana quem calcula a-b=12 em vez de b-a=-12.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor -36 não resulta de nenhuma configuração das raízes; é o simétrico de 36 do caso de raiz tripla (b-a=24+12), com sinal trocado.
  • CNão corresponde a nenhuma combinação correta de a=4 e b=-8.
  • DTroca o sinal: usa a-b=12 em vez de b-a.
  • ECorresponde apenas ao valor de b no caso de raiz tripla (b=24), ignorando a.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Polinômios.

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Fonte: ITA 2015 · Matemática. Prova oficial ↗