Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Matemática) do ITA 2015

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

\operatorname{tr} A : traço da matriz quadrada A, que é definido como a soma dos elementos da diagonal principal de A.

Potência de matriz : A^1 = A, A^2 = A \cdot A, \ldots, A^k = A^{k-1} \cdot A, sendo A matriz quadrada e k inteiro positivo.

\operatorname{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r

\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

\sum_{k=0}^n a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Sejam A, B e C os subconjuntos de \mathbb{C} definidos por A = \{z \in \mathbb{C} : |z + 2 - 3i| < \sqrt{19}\}, B = \{z \in \mathbb{C} : |z + i| < 7/2\} e C = \{z \in \mathbb{C} : z^2 + 6z + 10 = 0\}. Então, (A \setminus B) \cap C é o conjunto

  1. A
    \{-1 - 3i, -1 + 3i\}.
  2. B
    \{-3 - i, -3 + i\}.
  3. C
    \{-3 + i\}.
  4. D
    \{-3 - i\}.
  5. E
    \{-1 + 3i\}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Primeiro, ache os elementos de C resolvendo a equação do 2º grau:

z^2+6z+10=0 \Rightarrow \Delta=36-40=-4 \Rightarrow z=\frac{-6\pm 2i}{2}=-3\pm i.

Assim, C=\{-3+i,\,-3-i\}.

Agora é preciso testar cada elemento de C nos conjuntos. Lembre que |z-w|<r descreve os pontos dentro do disco de centro w e raio r. Aqui, A tem centro -2+3i e raio \sqrt{19}; B tem centro -i e raio 7/2.

Para z=-3+i:

  1. Em A: |z+2-3i|=|-1-2i|=\sqrt{1+4}=\sqrt5<\sqrt{19}. Pertence a A.
  2. Em B: |z+i|=|-3+2i|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}. Como (7/2)^2=49/4=12{,}25<13, temos \sqrt{13}>7/2. Não pertence a B.

Logo -3+i\in A\setminus B.

Para z=-3-i:

  1. Em A: |z+2-3i|=|-1-4i|=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}<\sqrt{19}. Pertence a A.
  2. Em B: |z+i|=|-3|=3<7/2. Pertence a B, então é removido por A\setminus B.

Portanto (A\setminus B)\cap C=\{-3+i\}.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem esquece que A\setminus B retira os pontos de B e só verifica que as duas raízes estão em A; a comparação \sqrt{13} com 7/2 é apertada.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa raízes que não são de z^2+6z+10=0 (erra o sinal e a parte real das raízes).
  • BIgnora a subtração de B: ambos estão em A, mas -3-i pertence a B.
  • DInverte o resultado: -3-i está em B (distância 3), logo é excluído.
  • E-1+3i não é raiz da equação; não pertence a C.

Assuntos: Números complexos, Conjuntos e conjuntos numéricos.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 2 no caderno Matemática do ITA 2015

Fonte: ITA 2015 · Matemática. Prova oficial ↗