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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Matemática) do ITA 2015

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

\operatorname{tr} A : traço da matriz quadrada A, que é definido como a soma dos elementos da diagonal principal de A.

Potência de matriz : A^1 = A, A^2 = A \cdot A, \ldots, A^k = A^{k-1} \cdot A, sendo A matriz quadrada e k inteiro positivo.

\operatorname{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r

\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

\sum_{k=0}^n a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Se z = \left(\frac{1 + \sqrt{3}i}{1 - \sqrt{3}i}\right)^{10}, então o valor de 2\operatorname{arcsen}(\operatorname{Re}(z)) + 5\operatorname{arctg}(2\operatorname{Im}(z)) é igual a

  1. A
    -\dfrac{2\pi}{3}.
  2. B
    -\dfrac{\pi}{3}.
  3. C
    \dfrac{2\pi}{3}.
  4. D
    \dfrac{4\pi}{3}.
  5. E
    \dfrac{5\pi}{3}.
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Resolução comentada

Primeiro, escreva o numerador e o denominador na forma polar.

1+\sqrt{3}i tem módulo 2 e argumento \frac{\pi}{3}. Já 1-\sqrt{3}i tem módulo 2 e argumento -\frac{\pi}{3}.

Na divisão, dividimos os módulos e subtraímos os argumentos:

\frac{1+\sqrt{3}i}{1-\sqrt{3}i}=\cos\frac{2\pi}{3}+i\,\sen\frac{2\pi}{3}

Pela 1ª fórmula de De Moivre, elevar a 10 multiplica o argumento por 10:

z=\cos\frac{20\pi}{3}+i\,\sen\frac{20\pi}{3}

Como \frac{20\pi}{3}=6\pi+\frac{2\pi}{3}, o ângulo é côngruo a \frac{2\pi}{3} (menos três voltas completas). Então:

  1. \operatorname{Re}(z)=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}
  2. \operatorname{Im}(z)=\sen\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Agora calculamos cada termo da expressão.

  • \operatorname{arcsen}\left(-\frac12\right)=-\frac{\pi}{6}, logo 2\cdot\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\pi}{3}.
  • 2\operatorname{Im}(z)=\sqrt{3} e \operatorname{arctg}(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}, logo 5\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}.

Somando:

-\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}

Alternativa D.

Pegadinha: As alternativas B e E trazem cada uma só uma das duas parcelas da soma (e a parte real é negativa, o que muda o sinal do arcsen).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErra o sinal ou o valor dos arcos, não chegando à soma -\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{3}.
  • BConsidera apenas o termo 2\operatorname{arcsen}(\operatorname{Re} z)=-\frac{\pi}{3} e esquece o termo da arctg.
  • CUsa um valor errado para um dos arcos, por exemplo reduzindo mal o ângulo \frac{20\pi}{3}.
  • EConsidera apenas o termo 5\operatorname{arctg}(\sqrt{3})=\frac{5\pi}{3} e esquece o termo do arcsen.

Assuntos: Números complexos, Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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Fonte: ITA 2015 · Matemática. Prova oficial ↗