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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Matemática) do ITA 2015

Matemática · Matemática: Progressão geométrica

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

\operatorname{tr} A : traço da matriz quadrada A, que é definido como a soma dos elementos da diagonal principal de A.

Potência de matriz : A^1 = A, A^2 = A \cdot A, \ldots, A^k = A^{k-1} \cdot A, sendo A matriz quadrada e k inteiro positivo.

\operatorname{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r

\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

\sum_{k=0}^n a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere as seguintes afirmações sobre números reais:

I. Se a expansão decimal de x é infinita e periódica, então x é um número racional.

II. \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(\sqrt{2} - 1)\sqrt{2^n}} = \frac{\sqrt{2}}{1 - 2\sqrt{2}}.

III. \ln \sqrt[3]{e^2} + (\log_3 2)(\log_4 9) é um número racional.

É (são) verdadeira(s):

  1. A
    nenhuma.
  2. B
    apenas II.
  3. C
    apenas I e II.
  4. D
    apenas I e III.
  5. E
    I, II e III.
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Resolução comentada

Afirmação I. Toda dízima periódica pode ser escrita como fração. Por exemplo, x = 0{,}333\ldots dá 10x - x = 3, logo x = \tfrac{1}{3}. Portanto x é racional, e a afirmação é verdadeira.

Afirmação II. O termo geral é \dfrac{1}{(\sqrt{2}-1)}\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n, porque \sqrt{2^n} = (\sqrt{2})^n. A série é geométrica de razão q = \tfrac{1}{\sqrt{2}}, com |q|<1, então converge.

  1. Primeiro termo: a_0 = \dfrac{1}{\sqrt{2}-1}.
  2. Soma: S = \dfrac{a_0}{1-q} = \dfrac{1}{(\sqrt{2}-1)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}.
  3. Desenvolvendo: (\sqrt{2}-1)\cdot\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} = \dfrac{(\sqrt{2}-1)^2}{\sqrt{2}} = \dfrac{3-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}.
  4. Então S = \dfrac{\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}} = \sqrt{2}(3+2\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}+4, que é positivo.

O valor dado, \dfrac{\sqrt{2}}{1-2\sqrt{2}}, tem denominador negativo (1 - 2\sqrt{2} < 0), então é negativo. Como S é positivo, a afirmação é falsa.

Afirmação III. \ln\sqrt[3]{e^2} = \dfrac{2}{3}. Além disso, \log_3 2\cdot\log_4 9 = \log_3 2\cdot\dfrac{2\log_3 3\cdot... }{}; fazendo na base 2: \log_3 2 = \dfrac{1}{\log_2 3} e \log_4 9 = \dfrac{2\log_2 3}{2} = \log_2 3. O produto vale 1. A soma é \dfrac{2}{3}+1 = \dfrac{5}{3}, racional, e a afirmação é verdadeira.

São verdadeiras I e III.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem não confere o sinal: o valor dado em II é negativo, mas a série tem termos positivos.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que I e III são verdadeiras.
  • BA soma da série é 4+3\sqrt{2}, positiva, e não o valor negativo dado; II é falsa.
  • CInclui II, que é falsa, e exclui III, que é verdadeira.
  • EInclui II, mas a soma da série não é a indicada.

Assuntos: Progressão geométrica, Frações, decimais e operações básicas, Logaritmos e função logarítmica.

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Fonte: ITA 2015 · Matemática. Prova oficial ↗