Questão 9 (Matemática) do ITA 2014

Question

Sejam A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ y & -x & 1 \end{bmatrix} e B = \begin{bmatrix} x + 1 & x \\ y - 2 & y \\ z + 3 & z \end{bmatrix} matrizes reais tais que o produto AB é uma matriz antissimétrica. Das afirmações abaixo:

I. BA é antissimétrica;

II. BA não é inversível ;

III. O sistema (BA)X = 0, com X^t = [x_1\ x_2\ x_3], admite infinitas soluções,

é (são) verdadeira(s)

A
apenas I e II.
B
apenas II e III.
C
apenas I.
D
apenas II.
E
apenas III.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Matemática) do ITA 2014

Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais; \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}

\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros

\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}

\text{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

A^t : transposta da matriz A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

P(A) : probabilidade de ocorrência do evento A

f \circ g : função composta das funções f e g

[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}

A \setminus B = \{x;\ x \in A\text{ e } x \notin B\}

\displaystyle\sum_{n=1}^{k} a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_k,\ k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Sejam A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ y & -x & 1 \end{bmatrix} e B = \begin{bmatrix} x + 1 & x \\ y - 2 & y \\ z + 3 & z \end{bmatrix} matrizes reais tais que o produto AB é uma matriz antissimétrica. Das afirmações abaixo:

I. BA é antissimétrica;

II. BA não é inversível ;

III. O sistema (BA)X = 0, com X^t = [x_1\ x_2\ x_3], admite infinitas soluções,

é (são) verdadeira(s)

A
apenas I e II.
B
apenas II e III.
C
apenas I.
D
apenas II.
E
apenas III.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Primeiro calculamos AB, que é 2\times 2.

Linha 1 de A: (1,-1,1).

a_{11} = (x+1) - (y-2) + (z+3) = x - y + z + 6
a_{12} = x - y + z

Linha 2 de A: (y,-x,1).

a_{21} = y(x+1) - x(y-2) + (z+3) = y + 2x + z + 3
a_{22} = yx - xy + z = z

Uma matriz antissimétrica tem diagonal nula e a_{12} = -a_{21}.

De a_{22} = 0 vem z = 0.
De a_{11} = 0 vem x - y + 6 = 0, ou seja, y = x + 6.
De a_{12} = -a_{21}: x - y = -(y + 2x + 3), logo 3x + 3 = 0 e x = -1. Então y = 5.

Com esses valores:

A=\begin{bmatrix}1&-1&1\\5&1&1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0&-1\\3&5\\3&0\end{bmatrix}

Conferindo AB: a_{12} = -1 - 5 + 0 = -6 e a_{21} = 0 + 3 + 3 = 6. Está correto.

Agora BA é 3\times 3. Para analisar I, basta ver a diagonal. O elemento (1,1) de BA é 0\cdot 1 + (-1)\cdot 5 = -5 \ne 0. Uma matriz antissimétrica tem diagonal nula, então BA não é antissimétrica e I é falsa.

Para II, o posto de BA é no máximo o posto de A, que é no máximo 2. Como BA é 3\times 3, \det(BA)=0 e ela não é inversível. II é verdadeira.

Para III, como \det(BA)=0, o sistema homogêneo (BA)X=0 admite soluções além da trivial, portanto infinitas. III é verdadeira.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConsidera I verdadeira, mas a diagonal de BA tem elemento -5, não nulo.
CSó I é falsa, pois BA não é antissimétrica.
DEsquece que, sendo BA singular, o sistema homogêneo tem infinitas soluções (III também é verdadeira).
EOmite II, que é verdadeira: BA é 3\times3 com posto no máximo 2.

Assuntos: Matrizes e determinantes, Sistemas lineares.

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Questão 9 no caderno Matemática do ITA 2014

Fonte: ITA 2014 · Matemática. Prova oficial ↗