Questão 8 (Matemática) do ITA 2014

Question

Considere as seguintes afirmações sobre as matrizes quadradas A e B de ordem n, com A inversível e B antissimétrica:

I. Se o produto AB for inversível, então n é par;

II. Se o produto AB não for inversível, então n é ímpar;

III. Se B for inversível, então n é par.

Destas afirmações, é (são) verdadeira(s)

A
apenas I.
B
apenas I e II.
C
apenas I e III.
D
apenas II e III.
E
todas.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Matemática) do ITA 2014

Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais; \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}

\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros

\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}

\text{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

A^t : transposta da matriz A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

P(A) : probabilidade de ocorrência do evento A

f \circ g : função composta das funções f e g

[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}

A \setminus B = \{x;\ x \in A\text{ e } x \notin B\}

\displaystyle\sum_{n=1}^{k} a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_k,\ k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere as seguintes afirmações sobre as matrizes quadradas A e B de ordem n, com A inversível e B antissimétrica:

I. Se o produto AB for inversível, então n é par;

II. Se o produto AB não for inversível, então n é ímpar;

III. Se B for inversível, então n é par.

Destas afirmações, é (são) verdadeira(s)

A
apenas I.
B
apenas I e II.
C
apenas I e III.
D
apenas II e III.
E
todas.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Se B é antissimétrica, B^t=-B. Tomando determinantes: \det B^t=\det B e \det(-B)=(-1)^n\det B. Logo \det B=(-1)^n\det B.

Se n é ímpar, \det B=-\det B, então 2\det B=0 e \det B=0: B não é inversível. Ou seja: B inversível \Rightarrow n par.

Como A é inversível, \det A\neq 0 e \det(AB)=\det A\cdot\det B só é diferente de zero se \det B\neq 0.

I: AB inversível \Rightarrow \det B\neq0 \Rightarrow B inversível \Rightarrow n par. Verdadeira.
III: é exatamente o resultado acima. Verdadeira.
II: AB não inversível significa \det B=0. Isso pode ocorrer com n par, por exemplo B a matriz nula 2\times2 (antissimétrica, \det=0) e A=I. Então n=2 é par, e a afirmação é falsa. Ela confunde a recíproca: ímpar \Rightarrow não inversível não implica o contrário.

Verdadeiras: I e III.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana ao tratar II como equivalente a I, quando ela é a recíproca da propriedade (ímpar ⇒ não inversível), não a contrapositiva.

Por que as outras alternativas estão erradas

AEsquece que III também é verdadeira: antissimétrica inversível exige n par.
BAceita II, que é a recíproca indevida; B nula de ordem par é contraexemplo.
DInclui II (falsa) e descarta I (verdadeira).
EInclui II, que falha para n par com \det B=0.

Assunto: Matrizes e determinantes.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 8 no caderno Matemática do ITA 2014

Fonte: ITA 2014 · Matemática. Prova oficial ↗