PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 16 (Matemática) do ITA 2014
Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais; \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\text{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
A^t : transposta da matriz A
\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
P(A) : probabilidade de ocorrência do evento A
f \circ g : função composta das funções f e g
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
A \setminus B = \{x;\ x \in A\text{ e } x \notin B\}
\displaystyle\sum_{n=1}^{k} a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_k,\ k \in \mathbb{N}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.
Em um triângulo isósceles ABC, cuja área mede 48\text{ }cm^2, a razão entre as medidas da altura \overline{AP} e da base \overline{BC} é igual a \frac{2}{3}. Das afirmações abaixo:
I. As medianas relativas aos lados \overline{AB} e \overline{AC} medem \sqrt{97}\text{ }cm;
II. O baricentro dista 4\text{ }cm do vértice A;
III. Se \alpha é o ângulo formado pela base \overline{BC} com a mediana \overline{BM}, relativa ao lado \overline{AC}, então \cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{97}},
é (são) verdadeira(s)
- A( ) apenas I.
- B( ) apenas II.
- C( ) apenas III.
- D( ) apenas I e III.
- E( ) apenas II e III.
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Resolução comentada
Seja BC = a a base e AP = h a altura, com h/a = 2/3, ou seja, h = \frac{2a}{3}.
A área vale 48:
Use coordenadas com P na origem: B(-6,0), C(6,0), A(0,8).
I. O ponto médio de AC é M(3,4). Então BM = \sqrt{(3+6)^2 + 4^2} = \sqrt{81+16} = \sqrt{97}. Por simetria, a mediana relativa a AB tem a mesma medida. Verdadeira.
II. O baricentro G está sobre a altura AP e divide a mediana na razão 2:1 a partir do vértice. Logo AG = \frac{2}{3}\cdot 8 = \frac{16}{3}\ \text{cm}, e não 4 cm. Falsa.
III. O ângulo \alpha é formado por BC e BM. O vetor \overrightarrow{BM} = (9,4) e o vetor \overrightarrow{BC}=(12,0) têm a mesma direção do eixo x. Então:
O valor \frac{3}{\sqrt{97}} está errado. Falsa.
Apenas I é verdadeira.
Alternativa A.
Pegadinha: A alternativa III engana ao usar 3 (a abscissa de M) em vez de 9 (a projeção de BM sobre BC), e a II usa 4 (altura de M) no lugar de 16/3.
Por que as outras alternativas estão erradas
- BO baricentro dista 16/3 cm de A, não 4 cm, então II é falsa.
- CO cosseno é 9/\sqrt{97} (cateto adjacente 9), não 3/\sqrt{97}.
- DInclui III, que é falsa por causa do valor do cosseno.
- ETem II e III, ambas falsas, e exclui I, que é verdadeira.
Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Áreas e perímetros de polígonos.
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Fonte: ITA 2014 · Matemática. Prova oficial ↗