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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Matemática) do ITA 2013

Matemática · Matemática: Cônicas e lugares geométricos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária, i^2 = -1
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n \operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det(M): determinante da matriz M [a, b] : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
M^t : transposta da matriz M [a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
A \setminus B : \{x : x \in A\text{ e } x \notin B\} ]a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
\sum_{n=0}^k a_n x^n : a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_kx^k,\ k \in \mathbb{N} \sum_{n=0}^k a_n : a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k,\ k \in \mathbb{N}

\operatorname{Arg} z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} , \operatorname{Arg} z \in [0, 2\pi[

A^C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\wedge}{ABC} : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Sobre a parábola definida pela equação x^2 + 2xy + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0 pode-se afirmar que

  1. A
    ela não admite reta tangente paralela ao eixo Ox.
  2. B
    ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo Ox.
  3. C
    ela admite duas retas tangentes paralelas ao eixo Ox.
  4. D
    a abscissa do vértice da parábola é x = -1.
  5. E
    a abscissa do vértice da parábola é x = -\dfrac{2}{3}.
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Resolução comentada

A equação é (x+y)^2 - 2x + 4y + 1 = 0. Como o termo quadrático é um quadrado perfeito, trata-se de uma parábola com eixo inclinado.

Tangentes paralelas a Ox: são retas y=k que tocam a curva em um único ponto. Substituindo y=k:

x^2 + (2k-2)x + (k^2+4k+1) = 0

A tangência exige discriminante nulo:

\Delta = (2k-2)^2 - 4(k^2+4k+1) = 4k^2 - 8k + 4 - 4k^2 - 16k - 4 = -24k

Logo \Delta = 0 \Rightarrow k=0, e só existe uma reta, y=0. Para k<0 a reta não corta a curva; para k>0 ela a corta em dois pontos. Isso confere com a parábola, que tem uma só tangente horizontal.

Vértice: use u = x+y e v = x - y (direção perpendicular ao eixo). Temos x = \frac{u+v}{2} e y = \frac{u-v}{2}, então -2x+4y = -(u+v) + 2(u-v) = u - 3v. A equação fica:

u^2 + u - 3v + 1 = 0 \Rightarrow v = \frac{u^2+u+1}{3}

O vértice ocorre em u=-\frac12, com v=\frac{1/4-1/2+1}{3}=\frac14. Então x=\frac{u+v}{2}=\frac{-1/2+1/4}{2}=-\frac18.

As alternativas D e E (x=-1 e x=-\frac23) não conferem. Só a B é verdadeira.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aexiste a tangente y=0, pois para k=0 o discriminante se anula.
  • Co discriminante -24k só se anula para k=0, então há uma única tangente horizontal.
  • Da abscissa do vértice é -\frac18, não -1.
  • Ea abscissa do vértice é -\frac18, não -\frac23.

Assunto: Cônicas e lugares geométricos.

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Fonte: ITA 2013 · Matemática. Prova oficial ↗