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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Matemática) do ITA 2013

Matemática · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária, i^2 = -1
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n \operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det(M): determinante da matriz M [a, b] : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
M^t : transposta da matriz M [a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
A \setminus B : \{x : x \in A\text{ e } x \notin B\} ]a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
\sum_{n=0}^k a_n x^n : a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_kx^k,\ k \in \mathbb{N} \sum_{n=0}^k a_n : a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k,\ k \in \mathbb{N}

\operatorname{Arg} z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} , \operatorname{Arg} z \in [0, 2\pi[

A^C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\wedge}{ABC} : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Uma reta r tangencia uma circunferência num ponto B e intercepta uma reta s num ponto A exterior à circunferência. A reta s passa pelo centro desta circunferência e a intercepta num ponto C, tal que o ângulo A\hat{B}C seja obtuso. Então o ângulo C\hat{A}B é igual a

  1. A
    \frac{1}{2} A\hat{B}C.
  2. B
    \frac{3}{2}\pi - 2\ A\hat{B}C.
  3. C
    \frac{2}{3} A\hat{B}C.
  4. D
    2\ A\hat{B}C - \pi.
  5. E
    A\hat{B}C - \frac{\pi}{2}.
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Resolução comentada

Seja O o centro da circunferência e \beta = A\hat{B}C (obtuso) e \alpha = C\hat{A}B.

Como r é tangente em B, o raio OB é perpendicular a r, ou seja, O\hat{B}A = \dfrac{\pi}{2}.

A reta s passa por O e por A, exterior à circunferência, e corta a circunferência em C. Como \beta é obtuso, C é o ponto de interseção mais distante de A: a ordem na reta é A, O, C (o ponto O fica entre A e C). Assim, o raio OB fica dentro do ângulo A\hat{B}C, e:

\beta = A\hat{B}O + O\hat{B}C = \frac{\pi}{2} + O\hat{B}C

Como OB = OC (raios), o triângulo OBC é isósceles e O\hat{B}C = O\hat{C}B = \beta - \dfrac{\pi}{2}.

Agora, no triângulo ABC, a soma dos ângulos internos é \pi:

  1. \alpha + \beta + A\hat{C}B = \pi
  2. A\hat{C}B = O\hat{C}B = \beta - \dfrac{\pi}{2}, pois O está sobre o segmento AC.
  3. \alpha = \pi - \beta - \left(\beta - \dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{3\pi}{2} - 2\beta.

Verificação: se \beta = 120^\circ, então \alpha = 270^\circ - 240^\circ = 30^\circ. No triângulo OBA retângulo em B, o ângulo em O é 60^\circ e \alpha = 30^\circ, o que é coerente.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASupõe uma relação de metade que não decorre da geometria da tangente.
  • CProporção sem nenhuma justificativa geométrica; não satisfaz o caso de teste \beta=120^\circ.
  • DDaria 60^\circ para \beta=120^\circ, mas o correto é 30^\circ.
  • EEsse é o ângulo O\hat{C}B (igual a \beta-\pi/2), não o ângulo em A.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Fonte: ITA 2013 · Matemática. Prova oficial ↗