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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Matemática) do ITA 2013

Matemática · Matemática: Identidades, adição de arcos e arco duplo

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária, i^2 = -1
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n \operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det(M): determinante da matriz M [a, b] : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
M^t : transposta da matriz M [a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
A \setminus B : \{x : x \in A\text{ e } x \notin B\} ]a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
\sum_{n=0}^k a_n x^n : a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_kx^k,\ k \in \mathbb{N} \sum_{n=0}^k a_n : a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k,\ k \in \mathbb{N}

\operatorname{Arg} z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} , \operatorname{Arg} z \in [0, 2\pi[

A^C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\wedge}{ABC} : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Se \cos 2x = \frac{1}{2}, então um possível valor de \frac{\operatorname{cotg} x - 1}{\operatorname{cossec}(x - \pi) - \sec(\pi - x)} é

  1. A
    \frac{\sqrt{3}}{2}.
  2. B
    1.
  3. C
    \sqrt{2}.
  4. D
    \sqrt{3}.
  5. E
    2.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Primeiro simplificamos o denominador com as identidades de arcos associados.

  • \operatorname{cossec}(x-\pi)=\dfrac{1}{\sen(x-\pi)}=\dfrac{1}{-\sen x}=-\dfrac{1}{\sen x}
  • \sec(\pi-x)=\dfrac{1}{\cos(\pi-x)}=-\dfrac{1}{\cos x}

Logo o denominador vale

-\frac{1}{\sen x}+\frac{1}{\cos x}=\frac{-\cos x+\sen x}{\sen x\cos x}.

O numerador é

\operatorname{cotg}x-1=\frac{\cos x-\sen x}{\sen x}.

Dividindo:

\frac{\cos x-\sen x}{\sen x}\cdot\frac{\sen x\cos x}{\sen x-\cos x}=-\cos x.

Agora usamos \cos 2x=2\cos^2x-1=\tfrac12, então \cos^2x=\tfrac34 e \cos x=\pm\dfrac{\sqrt3}{2}.

Assim a expressão vale -\cos x=\mp\dfrac{\sqrt3}{2}, ou seja, um possível valor é \dfrac{\sqrt3}{2} (para \cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}).

Conferência: x=150^\circ tem \cos 2x=\cos300^\circ=\tfrac12, \cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}, e a expressão existe (denominador não nulo, pois \sen x\ne\cos x).

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BNão decorre de -\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}; seria o valor de outra razão, sem base na simplificação.
  • C\sqrt2 viria de \sen x=\cos x em 45^\circ, que não satisfaz \cos2x=\frac12.
  • D\sqrt3 é o dobro do valor correto, por esquecer o fator \frac12 em \cos x.
  • EValor maior que 1 em módulo é impossível, pois a expressão é -\cos x.

Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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Fonte: ITA 2013 · Matemática. Prova oficial ↗