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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Matemática) do ITA 2013

Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária, i^2 = -1
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n \operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det(M): determinante da matriz M [a, b] : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
M^t : transposta da matriz M [a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
A \setminus B : \{x : x \in A\text{ e } x \notin B\} ]a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
\sum_{n=0}^k a_n x^n : a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_kx^k,\ k \in \mathbb{N} \sum_{n=0}^k a_n : a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k,\ k \in \mathbb{N}

\operatorname{Arg} z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} , \operatorname{Arg} z \in [0, 2\pi[

A^C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\wedge}{ABC} : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere A \in M_{5x5}(\mathbb{R}) com \det(A) = \sqrt{6} e \alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}. Se \det(\alpha A^t A A^t) = \sqrt{6}\alpha^2, o valor de \alpha é

  1. A
    \dfrac{1}{6}.
  2. B
    \dfrac{\sqrt{6}}{6}.
  3. C
    \dfrac{\sqrt[3]{36}}{6}.
  4. D
    1.
  5. E
    \sqrt{216}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Use duas propriedades do determinante para matrizes de ordem n=5:

  • \det(kM) = k^n\det(M), então \det(\alpha M)=\alpha^5\det(M);
  • \det(MN)=\det(M)\det(N) e \det(A^t)=\det(A).

Aplicando ao produto \alpha A^t A A^t:

  1. \det(\alpha A^t A A^t)=\alpha^5\cdot\det(A^t)\cdot\det(A)\cdot\det(A^t)
  2. Como \det(A^t)=\det(A)=\sqrt{6}, isso dá \alpha^5(\sqrt{6})^3.
  3. (\sqrt{6})^3 = 6\sqrt{6}, logo o determinante vale 6\sqrt{6}\,\alpha^5.

Igualando ao valor do enunciado:

6\sqrt{6}\,\alpha^5=\sqrt{6}\,\alpha^2

Como \alpha\neq 0 e \sqrt6\neq0, divida por \sqrt{6}\,\alpha^2:

6\alpha^3=1 \Rightarrow \alpha^3=\frac{1}{6}

Portanto:

\alpha=\frac{1}{\sqrt[3]{6}}=\frac{\sqrt[3]{36}}{\sqrt[3]{216}}=\frac{\sqrt[3]{36}}{6}

A racionalização multiplicou numerador e denominador por \sqrt[3]{36}, pois \sqrt[3]{6}\cdot\sqrt[3]{36}=\sqrt[3]{216}=6.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEsquece de extrair a raiz cúbica: para ter \alpha=1/6 seria preciso \alpha^3=1/216, não 1/6.
  • BSeria o caso de \alpha^2=1/6, o que não resulta da equação 6\alpha^3=1.
  • DIgnora o fator (\sqrt6)^3=6\sqrt6 ou erra a potência, achando \alpha^3=1.
  • EValor muito grande, vindo de inverter a relação (\alpha^3=6 daria \sqrt[3]{6}, e nem isso é \sqrt{216}).

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Fonte: ITA 2013 · Matemática. Prova oficial ↗