Questão 14 (Matemática) do ITA 2013

Question

Sejam a um número real e n o número de todas as soluções reais e distintas x \text{ }\in [0, 2\pi] da equação \cos^8 x - \sen^8 x + 4\sen^6 x = a. Das afirmações:

I. Se a = 0, então n = 0;
II. Se a = \frac{1}{2}, então n = 8;
III. Se a = 1, então n = 7;
IV. Se a = 3, então n = 2,

é (são) verdadeira(s)

A
apenas I.
B
apenas III.
C
apenas I e III.
D
apenas II e IV.
E
todas.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Matemática) do ITA 2013

Matemática · Matemática: Equações e inequações trigonométricas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais	\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros	i : unidade imaginária, i^2 = -1
\mathbb{R} : conjunto dos números reais	\lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n	\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det(M): determinante da matriz M	[a, b] : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
M^t : transposta da matriz M	[a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
A \setminus B : \{x : x \in A\text{ e } x \notin B\}	]a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
\sum_{n=0}^k a_n x^n : a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_kx^k,\ k \in \mathbb{N}	\sum_{n=0}^k a_n : a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k,\ k \in \mathbb{N}

\operatorname{Arg} z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} , \operatorname{Arg} z \in [0, 2\pi[

A^C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\wedge}{ABC} : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Sejam a um número real e n o número de todas as soluções reais e distintas x \text{ }\in [0, 2\pi] da equação \cos^8 x - \sen^8 x + 4\sen^6 x = a. Das afirmações:

I. Se a = 0, então n = 0;
II. Se a = \frac{1}{2}, então n = 8;
III. Se a = 1, então n = 7;
IV. Se a = 3, então n = 2,

é (são) verdadeira(s)

A
apenas I.
B
apenas III.
C
apenas I e III.
D
apenas II e IV.
E
todas.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Primeiro simplifique a expressão. Use \cos^8 x - \sen^8 x = (\cos^4 x - \sen^4 x)(\cos^4 x + \sen^4 x).

Como \cos^4 x - \sen^4 x = \cos^2 x - \sen^2 x = 1 - 2s, com s=\sen^2 x, e \cos^4 x + \sen^4 x = (1-s)^2 + s^2 = 1 - 2s + 2s^2, temos:

(1-2s)(1-2s+2s^2) = 1 - 2s + 2s^2 - 2s + 4s^2 - 4s^3 = 1 - 4s + 6s^2 - 4s^3.

Somando 4\sen^6 x = 4s^3, a equação fica 1 - 4s + 6s^2 = a.

Com s\in[0,1]: 6s^2 - 4s + 1 - a = 0. O mínimo de f(s)=6s^2-4s+1 ocorre em s=1/3, valendo 1/3. Além disso, f(0)=1 e f(1)=3.

I. a=0: f(s)=0 não tem raiz (mínimo 1/3). Logo n=0. Verdadeira.

II. a=1/2: 6s^2-4s+1/2=0, ou 12s^2-8s+1=0, que dá s=\frac{8\pm 4}{24}, isto é, s=1/2 ou s=1/6. Ambos estão em ]0,1[. Cada valor de s dá 4 valores de x em [0,2\pi], totalizando 8. Verdadeira.

III. a=1: 6s^2-4s=0, então s=0 ou s=2/3. Para s=0: x=0,\pi,2\pi (3 soluções). Para s=2/3: 4 soluções. Total 7. Verdadeira.

IV. a=3: 6s^2-4s-2=0, ou 3s^2-2s-1=0, com s=1 ou s=-1/3. Só vale s=1, e x=\pi/2,\ 3\pi/2, ou seja, n=2. Verdadeira.

Todas são verdadeiras.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aconsidera só a I, mas II, III e IV também se verificam ao resolver 6s^2-4s+1=a.
Bconsidera só a III, mas as demais também são verdadeiras.
Comite II e IV: em II há duas raízes em s, cada uma com 4 soluções; em IV, s=1 dá 2 soluções.
Dexclui I e III, mas I é verdadeira (mínimo de f é 1/3>0) e III dá 3+4=7 soluções.

Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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Questão 14 no caderno Matemática do ITA 2013

Fonte: ITA 2013 · Matemática. Prova oficial ↗