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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Matemática) do ITA 2013

Matemática · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária, i^2 = -1
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n \operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det(M): determinante da matriz M [a, b] : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
M^t : transposta da matriz M [a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
A \setminus B : \{x : x \in A\text{ e } x \notin B\} ]a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
\sum_{n=0}^k a_n x^n : a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_kx^k,\ k \in \mathbb{N} \sum_{n=0}^k a_n : a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k,\ k \in \mathbb{N}

\operatorname{Arg} z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} , \operatorname{Arg} z \in [0, 2\pi[

A^C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\wedge}{ABC} : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere os seguintes resultados relativamente ao lançamento de uma moeda:

I. Ocorrência de duas caras em dois lançamentos.
II. Ocorrência de três caras e uma coroa em quatro lançamentos.
III. Ocorrência de cinco caras e três coroas em oito lançamentos.

Pode-se afirmar que

  1. A
    dos três resultados, I é o mais provável.
  2. B
    dos três resultados, II é o mais provável.
  3. C
    dos três resultados, III é o mais provável.
  4. D
    os resultados I e II são igualmente prováveis.
  5. E
    os resultados II e III são igualmente prováveis.
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Resolução comentada

Supondo moeda honesta, cada lançamento tem probabilidade \frac{1}{2} de cara e \frac{1}{2} de coroa. Quando a ordem não importa, usamos a distribuição binomial: a probabilidade de k caras em n lançamentos é \binom{n}{k}\left(\frac{1}{2}\right)^n.

  1. Resultado I (2 caras em 2 lançamentos): \binom{2}{2}\cdot\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}=0{,}25.

  2. Resultado II (3 caras e 1 coroa em 4 lançamentos): \binom{4}{3}\cdot\frac{1}{2^4}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=0{,}25.

  3. Resultado III (5 caras e 3 coroas em 8 lançamentos): \binom{8}{5}\cdot\frac{1}{2^8}=\frac{56}{256}=\frac{7}{32}\approx 0{,}219.

Comparando: \frac{1}{4}=\frac{1}{4}>\frac{7}{32}, pois \frac{1}{4}=\frac{8}{32}.

Logo, I e II têm a mesma probabilidade, e ambas são maiores que a de III. Isso torna correta a afirmação de que I e II são igualmente prováveis.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana quem esquece o fator \binom{4}{3}=4 ou acha que mais lançamentos tornam o evento mais provável; o cálculo mostra empate entre I e II.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AI não é o mais provável isolado: II tem a mesma probabilidade, \frac{1}{4}.
  • BII empata com I, então não é o mais provável sozinho.
  • CIII tem probabilidade \frac{7}{32}, a menor das três.
  • EII (\frac{1}{4}) e III (\frac{7}{32}) são diferentes.

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Combinações e binômio de Newton.

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Fonte: ITA 2013 · Matemática. Prova oficial ↗