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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Matemática) do ITA 2013

Matemática · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária, i^2 = -1
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n \operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det(M): determinante da matriz M [a, b] : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
M^t : transposta da matriz M [a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
A \setminus B : \{x : x \in A\text{ e } x \notin B\} ]a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
\sum_{n=0}^k a_n x^n : a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_kx^k,\ k \in \mathbb{N} \sum_{n=0}^k a_n : a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k,\ k \in \mathbb{N}

\operatorname{Arg} z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} , \operatorname{Arg} z \in [0, 2\pi[

A^C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\wedge}{ABC} : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Seja p uma probabilidade sobre um espaço amostral finito \Omega. Se A e B são eventos de \Omega tais que p(A) = \frac{1}{2}, p(B) = \frac{1}{3} e p(A \cap B) = \frac{1}{4}, as probabilidades dos eventos A \setminus B, A \cup B e A^C \cup B^C são, respectivamente,

  1. A
    \frac{1}{4}, \frac{5}{6} e \frac{1}{4}.
  2. B
    \frac{1}{6}, \frac{5}{6} e \frac{1}{4}.
  3. C
    \frac{1}{6}, \frac{7}{12} e \frac{3}{4}.
  4. D
    \frac{1}{3}, \frac{5}{6} e \frac{1}{3}.
  5. E
    \frac{1}{4}, \frac{7}{12} e \frac{3}{4}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Vamos calcular cada probabilidade com as propriedades básicas.

  1. Evento A \setminus B: são os elementos de A que não estão em B, ou seja, A menos a parte comum:

    p(A\setminus B)=p(A)-p(A\cap B)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}

  2. Evento A \cup B: pela regra da união, subtraímos a interseção, que foi contada duas vezes:

    p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{6+4-3}{12}=\frac{7}{12}

  3. Evento A^C \cup B^C: pela lei de De Morgan, A^C\cup B^C=(A\cap B)^C. Logo:

    p(A^C\cup B^C)=1-p(A\cap B)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}

Os resultados são \frac{1}{4}, \frac{7}{12} e \frac{3}{4}, o que corresponde à alternativa E.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa A engana quem soma p(A)+p(B)=\frac{5}{6} sem descontar a interseção e confunde p(A^C\cup B^C) com p(A\cap B), esquecendo o complementar.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AAcerta A\setminus B, mas \frac{5}{6} é a soma p(A)+p(B) sem subtrair a interseção, e \frac{1}{4} é p(A\cap B), não o complementar.
  • B\frac{1}{6} vem de \frac{1}{2}-\frac{1}{3}, que ignora a interseção, e \frac{5}{6} é a soma sem subtrair a interseção.
  • Cp(A\setminus B)=\frac{1}{6} está errado, pois não se subtraiu p(A\cap B) de p(A).
  • DOs três valores estão errados: \frac{1}{3} não é p(A\setminus B), \frac{5}{6} ignora a interseção e \frac{1}{3} não é 1-p(A\cap B).

Assunto: Probabilidade: conceitos básicos.

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Fonte: ITA 2013 · Matemática. Prova oficial ↗