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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Matemática) do ITA 2012

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{R}^+ : conjunto dos números reais não-negativos

i : unidade imaginária; i^2 = -1

\arg z : argumento do número complexo z

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}

A^C : complementar do conjunto A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\widehat{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n,\ n \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Se \arg z = \frac{\pi}{4}, então um valor para \arg(-2iz) é

  1. A
    -\frac{\pi}{2}.
  2. B
    \frac{\pi}{4}.
  3. C
    \frac{\pi}{2}.
  4. D
    \frac{3\pi}{4}.
  5. E
    \frac{7\pi}{4}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O argumento de um produto é a soma dos argumentos dos fatores (a menos de múltiplos de 2\pi). Então basta achar o argumento de -2i e somar ao de z.

  1. O número -2i está sobre o eixo imaginário negativo, com módulo 2. Seu argumento é \frac{3\pi}{2} (ou -\frac{\pi}{2}).

  2. Somando ao argumento de z:

\arg(-2iz)=\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{6\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}
  1. Conferindo com a outra forma: -\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}, que é congruente a \frac{7\pi}{4}, pois -\frac{\pi}{4}+2\pi=\frac{7\pi}{4}.

Como a questão pede "um valor", qualquer argumento côngruo serve, e o único que aparece entre as opções é \frac{7\pi}{4}.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa A engana quem acha o argumento de -2i (-\frac{\pi}{2}) e esquece de somar o de z; já C e D vêm de errar o sinal de -2i.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa apenas o argumento de -2i e esquece de somar o argumento de z.
  • BÉ o argumento do próprio z, ignorando o efeito da multiplicação por -2i.
  • CÉ o argumento de i (ou de 2i), trocando o sinal do fator -2i.
  • DSoma \frac{\pi}{2} a \frac{\pi}{4}, tomando o argumento de 2i em vez de -2i.

Assunto: Números complexos.

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Fonte: ITA 2012 · Matemática. Prova oficial ↗