Questão 3 (Matemática) do ITA 2012

Question

Sejam z = n^2(\cos 45^\circ + i\sen 45^\circ) e w = n(\cos 15^\circ + i\sen 15^\circ), em que n é o menor inteiro positivo tal que (1 + i)^n é real. Então, \dfrac{z}{w} é igual a

A
\sqrt{3} + i.
B
2(\sqrt{3} + i).
C
2(\sqrt{2} + i).
D
2(\sqrt{2} - i).
E
2(\sqrt{3} - i).

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Matemática) do ITA 2012

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{R}^+ : conjunto dos números reais não-negativos

i : unidade imaginária; i^2 = -1

\arg z : argumento do número complexo z

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}

A^C : complementar do conjunto A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\widehat{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n,\ n \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Sejam z = n^2(\cos 45^\circ + i\sen 45^\circ) e w = n(\cos 15^\circ + i\sen 15^\circ), em que n é o menor inteiro positivo tal que (1 + i)^n é real. Então, \dfrac{z}{w} é igual a

A
\sqrt{3} + i.
B
2(\sqrt{3} + i).
C
2(\sqrt{2} + i).
D
2(\sqrt{2} - i).
E
2(\sqrt{3} - i).

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

1. Achar n. Na forma polar, 1+i=\sqrt{2}\,(\cos 45^\circ + i\sen 45^\circ). Pela fórmula de De Moivre:

(1+i)^n = (\sqrt{2})^n\,(\cos 45^\circ n + i\sen 45^\circ n)

O número é real quando \sen(45^\circ n)=0, ou seja, quando 45^\circ n é múltiplo de 180^\circ. Isso exige que n seja múltiplo de 4. O menor inteiro positivo é n=4.

2. Calcular z e w. Com n=4:

z = 16(\cos 45^\circ + i\sen 45^\circ)
w = 4(\cos 15^\circ + i\sen 15^\circ)

3. Dividir. Na divisão de complexos em forma polar, dividem-se os módulos e subtraem-se os argumentos:

\frac{z}{w}=\frac{16}{4}\,[\cos(45^\circ-15^\circ)+i\sen(45^\circ-15^\circ)] = 4(\cos 30^\circ + i\sen 30^\circ)

4. Valores finais. Como \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2} e \sen 30^\circ=\dfrac12:

\frac{z}{w}=4\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2}\right)=2\sqrt3+2i = 2(\sqrt3+i)

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AEsquece o módulo 16/4=4 e usa módulo 2 ao invés de 4 no resultado (fica sem o fator 2).
CUsa \cos 30^\circ=\sqrt2/2 no lugar de \sqrt3/2, valor que não corresponde ao ângulo de 30^\circ.
DMistura valores de seno e cosseno de ângulos diferentes e troca o sinal da parte imaginária.
EChega ao módulo certo, mas erra o sinal da parte imaginária; o argumento é +30^\circ, não -30^\circ.

Assunto: Números complexos.

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Questão 3 no caderno Matemática do ITA 2012

Fonte: ITA 2012 · Matemática. Prova oficial ↗