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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Matemática) do ITA 2012

Matemática · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{R}^+ : conjunto dos números reais não-negativos

i : unidade imaginária; i^2 = -1

\arg z : argumento do número complexo z

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}

A^C : complementar do conjunto A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\widehat{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n,\ n \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Dois atiradores acertam o alvo uma vez a cada três disparos. Se os dois atiradores disparam simultaneamente, então a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez é igual a

  1. A
    \frac{2}{9}.
  2. B
    \frac{1}{3}.
  3. C
    \frac{4}{9}.
  4. D
    \frac{5}{9}.
  5. E
    \frac{2}{3}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Cada atirador acerta o alvo com probabilidade \frac{1}{3}, então erra com probabilidade 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}. Os disparos são independentes, ou seja, o resultado de um não influencia o do outro.

A expressão "pelo menos uma vez" sugere usar o evento complementar: o contrário de "pelo menos um acerto" é "nenhum acerto", isto é, os dois erram.

  1. Probabilidade de os dois errarem: \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{9}.
  2. Probabilidade de pelo menos um acertar: 1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}.

Conferindo pela soma direta dos casos:

  • só o primeiro acerta: \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{9};
  • só o segundo acerta: \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{9};
  • os dois acertam: \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9}.

Soma: \frac{2}{9}+\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}, o mesmo resultado.

Note que o alvo é atingido "pelo menos uma vez" se ao menos um dos dois acertar, e não apenas se um deles acertar sozinho.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem para na probabilidade de os dois errarem (\frac{4}{9}) sem tomar o complementar; a E engana quem soma \frac13+\frac13 sem descontar o caso em que ambos acertam.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADá apenas a probabilidade de um atirador específico acertar e o outro errar, \frac{2}{9}.
  • BIgnora o segundo atirador, usando só a probabilidade de um deles acertar.
  • CÉ a probabilidade de os dois errarem, esquecendo de subtrair de 1.
  • EProbabilidade de um atirador errar, \frac{2}{3}, ou soma \frac13+\frac13 sem descontar a interseção.

Assunto: Eventos sucessivos e distribuição binomial.

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Fonte: ITA 2012 · Matemática. Prova oficial ↗