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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Matemática) do ITA 2012

Matemática · Matemática: Cone e tronco de cone

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{R}^+ : conjunto dos números reais não-negativos

i : unidade imaginária; i^2 = -1

\arg z : argumento do número complexo z

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}

A^C : complementar do conjunto A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\widehat{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n,\ n \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Um cone circular reto de altura 1\text{ }cm e geratriz \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\text{ }cm é interceptado por um plano paralelo à sua base, sendo determinado, assim, um novo cone. Para que este novo cone tenha o mesmo volume de um cubo de aresta \left(\dfrac{\pi}{243}\right)^{1/3}\text{ }cm, é necessário que a distância do plano à base do cone original seja, em cm, igual a

  1. A
    \dfrac{1}{4}.
  2. B
    \dfrac{1}{3}.
  3. C
    \dfrac{1}{2}.
  4. D
    \dfrac{2}{3}.
  5. E
    \dfrac{3}{4}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Primeiro, ache o raio da base do cone original. Com altura h = 1 e geratriz g = \frac{2\sqrt{3}}{3}, o teorema de Pitágoras dá:

r^2 = g^2 - h^2 = \frac{4\cdot 3}{9} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}

O volume do cone original é:

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot\frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{\pi}{9}

O volume do cubo de aresta \left(\frac{\pi}{243}\right)^{1/3} é a aresta elevada ao cubo:

V_c = \frac{\pi}{243}

O plano paralelo à base determina um cone menor semelhante ao original. A razão entre os volumes é o cubo da razão de semelhança k:

k^3 = \frac{\pi/243}{\pi/9} = \frac{9}{243} = \frac{1}{27} \Rightarrow k = \frac{1}{3}

A altura do cone menor é k\cdot 1 = \frac{1}{3}, contada a partir do vértice. A distância do plano à base é o que sobra da altura total:

d = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\ \text{cm}

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana: 1/3 é a altura do cone menor medida do vértice, mas a questão pede a distância do plano à base, que é 1-1/3=2/3.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a razão de semelhança k=1/3; não sai de nenhuma etapa correta.
  • BÉ a altura do cone menor (k=1/3), não a distância do plano à base.
  • CSupõe razão de volumes proporcional à razão linear, ou chuta o ponto médio.
  • ENão corresponde a nenhuma razão obtida na semelhança dos cones.

Assuntos: Cone e tronco de cone, Semelhança e Teorema de Tales.

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Fonte: ITA 2012 · Matemática. Prova oficial ↗