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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Matemática) do ITA 2012

Matemática · Matemática: Cone e tronco de cone

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{R}^+ : conjunto dos números reais não-negativos

i : unidade imaginária; i^2 = -1

\arg z : argumento do número complexo z

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}

A^C : complementar do conjunto A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\widehat{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n,\ n \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

A superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de 120^\circ e área igual a 3\pi\ cm^2. A área total e o volume deste cone medem, em cm^2 e cm^3, respectivamente

  1. A
    4\pi e \dfrac{2\pi\sqrt{2}}{3}.
  2. B
    4\pi e \dfrac{\pi\sqrt{2}}{3}.
  3. C
    4\pi e \pi\sqrt{2}.
  4. D
    3\pi e \dfrac{2\pi\sqrt{2}}{3}.
  5. E
    \pi e 2\pi\sqrt{2}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A superfície lateral de um cone, planificada, é um setor circular de raio igual à geratriz g. O comprimento do arco desse setor é igual ao perímetro da base, 2\pi r.

  1. Área do setor de 120^\circ (um terço do círculo de raio g):

    \frac{1}{3}\pi g^2 = 3\pi \Rightarrow g^2 = 9 \Rightarrow g = 3\ \text{cm}

  2. O arco do setor mede \frac{120}{360}\cdot 2\pi g = \frac{2\pi\cdot 3}{3} = 2\pi. Igualando ao perímetro da base:

    2\pi r = 2\pi \Rightarrow r = 1\ \text{cm}

  3. Área total = área lateral + área da base:

    A_t = 3\pi + \pi r^2 = 3\pi + \pi = 4\pi\ \text{cm}^2

  4. Altura, pelo teorema de Pitágoras (g^2 = h^2 + r^2):

    h = \sqrt{9-1} = 2\sqrt{2}\ \text{cm}

  5. Volume:

    V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi\cdot 1\cdot 2\sqrt{2} = \frac{2\pi\sqrt{2}}{3}\ \text{cm}^3

Portanto, área total 4\pi e volume \frac{2\pi\sqrt{2}}{3}.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BEsquece o fator 2 da altura h=2\sqrt{2}, obtendo volume \pi\sqrt{2}/3.
  • CEsquece de dividir por 3 na fórmula do volume do cone.
  • DToma a área total igual à lateral, esquecendo de somar a área da base.
  • EValores sem relação com r=1 e g=3; não considera a área lateral nem a fórmula correta do volume.

Assunto: Cone e tronco de cone.

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Fonte: ITA 2012 · Matemática. Prova oficial ↗