Questão 18 (Matemática) do ITA 2012

Question

A soma \sum_{k=0}^{n} \cos(\alpha + k\pi), para todo \alpha \in [0, 2\pi], vale

A
-\cos(\alpha) quando n é par.
B
-\sen(\alpha) quando n é ímpar.
C
\cos(\alpha) quando n é ímpar.
D
\sen(\alpha) quando n é par.
E
zero quando n é ímpar.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Matemática) do ITA 2012

Matemática · Matemática: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{R}^+ : conjunto dos números reais não-negativos

i : unidade imaginária; i^2 = -1

\arg z : argumento do número complexo z

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}

A^C : complementar do conjunto A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\widehat{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n,\ n \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

A soma \sum_{k=0}^{n} \cos(\alpha + k\pi), para todo \alpha \in [0, 2\pi], vale

A
-\cos(\alpha) quando n é par.
B
-\sen(\alpha) quando n é ímpar.
C
\cos(\alpha) quando n é ímpar.
D
\sen(\alpha) quando n é par.
E
zero quando n é ímpar.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Use a propriedade \cos(\alpha + k\pi) = (-1)^k\cos\alpha. Somar k\pi ao ângulo equivale a dar k meias-voltas no ciclo trigonométrico, e cada meia-volta troca o sinal do cosseno.

Assim, a soma fica:

\sum_{k=0}^{n}\cos(\alpha+k\pi)=\cos\alpha\sum_{k=0}^{n}(-1)^k

Agora é só calcular \sum_{k=0}^{n}(-1)^k = 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots, que tem n+1 termos:

Se n é ímpar, n+1 é par. Os termos se cancelam em pares (1-1) e a soma vale 0.
Se n é par, n+1 é ímpar. Sobra um +1 e a soma vale 1.

Portanto:

n ímpar: a soma é \cos\alpha\cdot 0 = 0.
n par: a soma é \cos\alpha.

Conferindo com n=1: \cos\alpha + \cos(\alpha+\pi) = \cos\alpha - \cos\alpha = 0. Confere.

Só a alternativa E diz que a soma é zero quando n é ímpar.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

Apara n par a soma vale \cos\alpha, não -\cos\alpha.
Bpara n ímpar a soma é zero; além disso o seno nem aparece na soma.
Cpara n ímpar os termos se cancelam em pares, dando zero, e não \cos\alpha.
Dpara n par a soma é \cos\alpha, não \sen\alpha.

Assunto: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 18 no caderno Matemática do ITA 2012

Fonte: ITA 2012 · Matemática. Prova oficial ↗