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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Matemática) do ITA 2012

Matemática · Matemática: Equações e inequações trigonométricas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{R}^+ : conjunto dos números reais não-negativos

i : unidade imaginária; i^2 = -1

\arg z : argumento do número complexo z

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}

A^C : complementar do conjunto A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\widehat{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n,\ n \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Seja S = \left\{ x \in \mathbb{R} \middle| \text{arc sen} \left( \frac{e^{-x} - e^x}{2} \right) + \arccos \left( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right) = \frac{\pi}{2} \right\}. Então,

  1. A
    S = \emptyset.
  2. B
    S = \{0\}.
  3. C
    S = \mathbb{R}^+ \setminus \{0\}.
  4. D
    S = \mathbb{R}^+.
  5. E
    S = \mathbb{R}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Seja t = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \operatorname{senh} x. Então \frac{e^{-x}-e^{x}}{2} = -t, e a equação fica:

\text{arc sen}(-t) + \arccos(t) = \frac{\pi}{2}

O arco seno é função ímpar: \text{arc sen}(-t) = -\text{arc sen}(t). Além disso, vale a identidade \text{arc sen}(t) + \arccos(t) = \frac{\pi}{2} para t \in [-1,1], ou seja, \arccos(t) = \frac{\pi}{2} - \text{arc sen}(t).

Substituindo:

-\text{arc sen}(t) + \frac{\pi}{2} - \text{arc sen}(t) = \frac{\pi}{2}
-2\,\text{arc sen}(t) = 0 \Rightarrow \text{arc sen}(t) = 0 \Rightarrow t = 0

Agora resolvemos t = 0:

e^x - e^{-x} = 0 \Rightarrow e^{x} = e^{-x} \Rightarrow e^{2x} = 1 \Rightarrow x = 0

Verificação: para x=0, t=0, e temos \text{arc sen}(0) + \arccos(0) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}. Confere. O valor t=0 está no domínio [-1,1].

Logo S = \{0\}.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E engana quem reconhece a identidade arc sen + arccos = π/2 e ignora que o argumento do arco seno tem sinal oposto ao do arco cosseno.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO conjunto não é vazio: x=0 satisfaz a equação, pois 0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.
  • CExclui justamente x=0, que é a única solução, e inclui valores positivos que não servem.
  • DOs positivos dão t>0 e \text{arc sen}(-t)+\arccos t\neq\frac{\pi}{2}; só x=0 funciona.
  • EConfunde com a identidade \text{arc sen}\,t+\arccos t=\frac{\pi}{2}, mas aqui há sinal trocado no arco seno, o que restringe a t=0.

Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Função exponencial.

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Fonte: ITA 2012 · Matemática. Prova oficial ↗