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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Matemática) do ITA 2012

Matemática · Matemática: Função exponencial

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{R}^+ : conjunto dos números reais não-negativos

i : unidade imaginária; i^2 = -1

\arg z : argumento do número complexo z

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}

A^C : complementar do conjunto A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\widehat{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n,\ n \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere um número real a \neq 1 positivo, fixado, e a equação em x

a^{2x} + 2\beta a^x - \beta = 0, \beta \in \mathbb{R}

Das afirmações:

I \cdot Se \beta < 0, então existem duas soluções reais distintas;

II \cdot Se \beta = -1, então existe apenas uma solução real;

III \cdot Se \beta = 0, então não existem soluções reais;

IV \cdot Se \beta > 0, então existem duas soluções reais distintas,

é (são) sempre verdadeira(s) apenas

  1. A
    I.
  2. B
    I e III
  3. C
    II e III.
  4. D
    II e IV.
  5. E
    I, III e IV.
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Resolução comentada

Faça t = a^x. Como a>0 e a\neq 1, t assume todos os valores reais positivos, e cada t>0 corresponde a exatamente um x. A equação vira

t^2 + 2\beta t - \beta = 0, \quad t>0.

O discriminante é \Delta = 4\beta^2 + 4\beta = 4\beta(\beta+1). A soma das raízes é -2\beta e o produto é -\beta.

I (\beta<0): o produto -\beta>0 e a soma -2\beta>0, então as raízes têm o mesmo sinal, positivo, se forem reais. Mas \Delta\ge 0 só se \beta\le -1. Para -1<\beta<0, \Delta<0 e não há solução. Logo I é falsa.

II (\beta=-1): \Delta=0, e t^2-2t+1=0 dá t=1>0. Então a^x=1, ou seja, x=0, solução única. Verdadeira.

III (\beta=0): t^2=0 dá t=0, e a^x=0 é impossível. Não há solução real. Verdadeira.

IV (\beta>0): o produto -\beta<0, então as raízes têm sinais opostos. Só a positiva serve, o que dá uma única solução, não duas. Falsa.

São verdadeiras apenas II e III.

Alternativa C.

Pegadinha: A afirmação I engana: o aluno vê raízes positivas para \beta<0 e esquece de checar que o discriminante só é não negativo para \beta\le -1.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AI é falsa: para -1<\beta<0 o discriminante é negativo e não há solução.
  • Binclui I, que é falsa para -1<\beta<0.
  • DIV é falsa: com \beta>0 as raízes têm sinais opostos e só a positiva serve, logo há uma solução.
  • EI e IV são falsas, pelos motivos acima.

Assuntos: Função exponencial, Equação do 2º grau.

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Fonte: ITA 2012 · Matemática. Prova oficial ↗