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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Matemática) do ITA 2012

Matemática · Matemática: Equações e inequações trigonométricas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{R}^+ : conjunto dos números reais não-negativos

i : unidade imaginária; i^2 = -1

\arg z : argumento do número complexo z

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}

A^C : complementar do conjunto A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\widehat{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n,\ n \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Seja x \in [0, 2\pi] tal que \sen(x) \cos(x) = \frac{2}{5}. Então, o produto e a soma de todos os possíveis valores de \tg(x) são, respectivamente

  1. A
    1 e 0.
  2. B
    1 e \frac{5}{2}.
  3. C
    -1 e 0.
  4. D
    1 e 5.
  5. E
    -1 e -\frac{5}{2}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Vamos escrever \sen x\cos x em função de t=\tg x. Dividindo e multiplicando por \cos^2 x:

\sen x\cos x=\frac{\sen x\cos x}{\sen^2 x+\cos^2 x}=\frac{\tg x}{\tg^2 x+1}

(dividimos numerador e denominador por \cos^2 x; \cos x\neq 0, pois senão o produto seria 0).

  1. Igualamos a \frac{2}{5}: \dfrac{t}{t^2+1}=\dfrac{2}{5}.
  2. Multiplicando em cruz: 5t=2t^2+2, ou seja, 2t^2-5t+2=0.
  3. Discriminante: \Delta=25-16=9, logo t=\dfrac{5\pm3}{4}, isto é, t=2 ou t=\frac{1}{2}.

Conferindo: como \sen x\cos x>0, x está no 1º ou 3º quadrante, onde \tg x>0. Ambas as raízes são positivas e existem valores de x para elas, então os dois valores são possíveis.

Produto das raízes: \dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{2}=1.

Soma das raízes: -\dfrac{b}{a}=\dfrac{5}{2}.

Assim, o produto é 1 e a soma é \frac{5}{2}.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana quem esquece de dividir por a=2 na soma das raízes e obtém 5 em vez de \frac52.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AA soma 0 pressupõe raízes opostas, mas as duas raízes, 2 e \frac12, são positivas.
  • CProduto -1 e soma 0 exigiriam valores de \tg x de sinais opostos, impossível com \sen x\cos x>0.
  • DO produto está certo, mas a soma 5 vem de usar -b sem dividir por a=2.
  • EProduto e soma negativos contradizem \tg x>0 no 1º e 3º quadrantes.

Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Equação do 2º grau.

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Ver como caiu na prova Questão 17 no caderno Matemática do ITA 2012

Fonte: ITA 2012 · Matemática. Prova oficial ↗